Eine rechnerische Technik, die Gradienten einer Zielfunktion hinsichtlich vieler Parameter durch Lösen einer Hilfs-(Adjungierten-)PDE berechnet, welche aus der Lagrange-Formulierung des Vorwärtsproblems abgeleitet wird.

Prinzip

Lagrange-Funktion mit Nebenbedingungen für die Vorwärts-PDE und Parameter aufstellen, die Adjungierten-Gleichung durch Stationarität bezüglich des Vorwärtszustands ableiten und den Gradienten als Skalarprodukt des Adjungen mit der Parameterableitung des Vorwärtsoperators berechnen; der Aufwand ist im Wesentlichen unabhängig von der Parameterauszahl.

Demonstration

Kalibrierung eines räumlich variablen Diffusionskoeffizienten: Vorwärts-Diffusions-PDE lösen, Adjungierte PDE mit Fehlertermin/Quelle lösen und danach den Gradienten durch lokale Integrale der Vorwärts- und Adjungierten-Felder berechnen.

Fehlanwendung

Die Adjungierte einer linearisierten Modellversion verwenden, obwohl die Vorwärtsabhängigkeit stark nichtlinear ist, ohne Re-Linearisation, oder nondifferenzierbare Regularisierer fälschlich als glatt behandeln, was zu falschen Gradienten und scheiternder Optimierung führt.

Konsequenz

Ermöglicht effiziente gradientenbasierte Optimierung und Sensitivitätsanalyse für hochdimensionale Parametersätze und reduziert die Rechenkosten von einer Vorwärtslösung pro Parameter auf eine Vorwärts- und eine Adjungierten-Lösung pro Zielfunktionsauswertung.

Umkehrung

Die Vorwärtssensitivitätsmethode differenziert das Vorwärtsproblem für jeden Parameter einzeln; sie ist schlicht, skaliert jedoch linear mit der Anzahl der Parameter und wird bei vielen Parametern unpraktisch.

Abgrenzung

Setzt ein wohlgestelltes Vorwärtsproblem mit differenzierbarer Parameterabhängigkeit und korrekter Angabe von Rand-/Endbedingungen voraus; nicht direkt anwendbar auf nondifferenzierbare Ziele, diskrete Parameter oder stochastische Formulierungen ohne Modifikation.

Semantische Spannung

Unterscheidet sich von automatischer Differentiation des diskretisierten Codes: Der kontinuierliche Adjunkt leitet die PDE-ebene Adjungen-Gleichung vor der Diskretisierung ab, während der diskrete Adjunkt das numerische Schema differenziert; beide können übereinstimmen, haben aber unterschiedliche Stabilitäts- und Implementierungsfolgen.

Synthese

Ein Verfahren, das die Sensitivitätsberechnung bei PDE-gekoppelten Zielen in das Lösen einer Adjungierten-PDE überführt, sodass Gradienten mit dem Aufwand einer zusätzlichen Lösung bereitgestellt werden und Optimierung in großem Parameterspace skalierbar wird.