Technique numérique qui calcule les gradients d'un fonctionnel objectif par rapport à de nombreux paramètres en résolvant une équation aux dérivées partielles auxiliaire (adjoint) dérivée de la forme lagrangienne du problème direct.

Principe

Construire le lagrangien contraint pour la PDE directe et les paramètres, dériver l'équation adjointe par stationnarité par rapport à l'état direct, et obtenir le gradient comme produit intérieur de l'adjoint avec la dérivée de l'opérateur direct par rapport aux paramètres ; le coût est essentiellement indépendant du nombre de paramètres.

Démonstration

Calibration d'un coefficient de diffusion spatialement variable : résoudre la PDE de diffusion directe pour obtenir le champ, résoudre l'équation adjointe avec le terme source lié à l'écart aux données, puis calculer le gradient de l'écart en intégrant localement les champs direct et adjoint.

Mauvaise application

Utiliser l'adjoint dérivé d'un modèle linéarisé lorsque la dépendance directe est fortement non linéaire sans relinéarisation, ou traiter des régularisateurs nondifférentiables comme lisses, conduisant à des gradients erronés et à l'échec de l'optimisation.

Conséquence

Permet une optimisation et une analyse de sensibilité efficaces pour des espaces de paramètres de grande dimension, réduisant le coût de une résolution directe par paramètre à une résolution directe plus une adjointe par évaluation de l'objectif.

Inversion

La méthode des sensibilités directes différencie le problème direct pour chaque paramètre séparément ; simple mais dont le coût croît linéairement avec le nombre de paramètres, ce qui la rend impraticable pour des ensembles de paramètres vastes.

Limite

Nécessite un problème direct bien posé avec une dépendance différentiable aux paramètres et une spécification correcte des conditions aux limites/terminales ; non applicable directement aux objectifs nondifférentiables, aux paramètres discrets ou aux formulations stochastiques sans adaptation.

Tension sémantique

Diffère de la différentiation automatique du code discrétisé : l'adjoint continu dérive l'équation adjointe au niveau PDE avant discrétisation, tandis que l'adjoint discret différencie le schéma numérique assemblé ; ils peuvent concorder mais présentent des compromis différents en stabilité et implémentation.

Synthèse

Méthode qui transforme le calcul des sensibilités pour des objectifs contraints par des PDE en la résolution d'une PDE adjointe, fournissant des gradients au coût d'une résolution supplémentaire et rendant l'optimisation évolutive en grand espace de paramètres.