Técnica computacional que calcula los gradientes de un funcional objetivo respecto a muchos parámetros resolviendo una ecuación en derivadas parciales auxiliar (adjunta) derivada de la lagrangiana del problema directo.

Principio

Formular la lagrangiana con la restricción de la PDE directa y los parámetros, derivar la ecuación adjunta mediante la condición de estacionariedad respecto al estado directo y obtener el gradiente como producto interior del adjunto con la derivada del operador directo respecto a los parámetros; el coste es esencialmente independiente del número de parámetros.

Demostración

Calibración de un coeficiente de difusión espacialmente variable: resolver la PDE de difusión directa para obtener el campo, resolver la ecuación adjunta con el término de discrepancia frente a datos, y luego calcular el gradiente mediante integrales locales de los campos directo y adjunto.

Aplicación incorrecta

Usar el adjunto obtenido de un modelo linealizado cuando la dependencia real es fuertemente no lineal sin relinealizar, o tratar regularizadores no diferenciables como suaves, produciendo gradientes incorrectos y la falla de la optimización.

Consecuencia

Permite optimización basada en gradiente y análisis de sensibilidad eficientes en espacios de parámetros de alta dimensión, reduciendo el coste desde una resolución directa por parámetro a una directa más una adjunta por evaluación del objetivo.

Inversión

El método de sensibilidades directas diferencia el problema directo por cada parámetro por separado; es directo pero su coste crece linealmente con el número de parámetros y se vuelve impráctico con muchos parámetros.

Límite

Requiere un problema directo bien planteado con dependencia diferenciable respecto a los parámetros y especificación correcta de condiciones de contorno/terminales; no es aplicable directamente a objetivos no diferenciables, parámetros discretos o formulaciones estocásticas sin adaptación.

Tensión semántica

Difiere de la diferenciación automática del código discretizado: el adjunto continuo deriva la ecuación adjunta a nivel PDE antes de discretizar, mientras que el adjunto discreto diferencia el esquema numérico ensamblado; pueden coincidir pero tienen diferentes compensaciones de estabilidad e implementación.

Síntesis

Método que transforma el cálculo de sensibilidades en problemas PDE-contraints en la resolución de una PDE adjunta, proporcionando gradientes al coste de una solución adicional y habilitando optimización escalable en espacios de parámetros de gran dimensión.