Eine quadratische Matrix, deren Eintrag (i,j) die Kovarianz zwischen der i‑ten und j‑ten Komponente eines Zufallsvektors ist; sie kodiert paarweise lineare Streuung und Skalierung zwischen Komponenten.

Prinzip

Sammelt Informationen der zweiten Momente: Erwartungswerte von Paarprodukten minus Produkt der Erwartungswerte berechnen; die Matrix ist symmetrisch und positiv semidefinit und spiegelt Varianz sowie lineare Abhängigkeiten wider.

Demonstration

Bei n unabhängigen d‑dimensionalen Beobachtungen x₁,…,x_n ergibt die Stichprobenkovarianzmatrix S = (1/(n-1)) ∑ (x_i − 9x)(x_i − 9x)^T den Eintrag S_{jk} als Stichprobenkovarianz zwischen Koordinaten j und k.

Fehlanwendung

Das Ziehen der Schlussfolgerung, dass Nullkovarianz vollständige Unabhängigkeit bedeutet (Nullkovarianz schließt nichtlineare Abhängigkeit nicht aus), oder die Anwendung der Stichprobenkovarianz auf stark nichtstationäre Reihen ohne Detrending.

Konsequenz

Korrekte Anwendung liefert Richtungen großer und kleiner Variabilität, informiert lineare Schätzer und Fehlerfortpflanzung, definiert Mahalanobis‑ähnliche Distanzen und parametrisiert die Streuung einer multivariaten Normalverteilung.

Umkehrung

Die Präzisionsmatrix (Inverse der Kovarianz, falls vorhanden) betont bedingte Beziehungen und Sparsamkeitsmuster statt marginaler Kovarianzen.

Abgrenzung

Fasst nur paarweise lineare Beziehungen zweiten Ordnung zusammen und setzt endliche zweite Momente voraus; sie erfasst keine nichtlinearen Abhängigkeiten oder höhere Momente und kann bei kleiner Stichprobe im Vergleich zur Dimension schlecht konditioniert sein.

Semantische Spannung

Korrelationsmatrix ist eine normalisierte Form der Kovarianzmatrix; Verwechslung entsteht, wenn skalenabhängige Kovarianzen mit dimensionslosen Korrelationen verglichen werden.

Synthese

Die Kovarianzmatrix ist die symmetrische positiv semidefinite Matrix paarweiser Kovarianzen, die linearer Streuung und Skalenbeziehungen einer multivariaten Verteilung kompakt beschreibt.