Définition
Matrice carrée dont l'élément (i,j) est la covariance entre la i-ème et la j-ème composante d'un vecteur aléatoire ; elle encode la dispersion linéaire et l'échelle mutuelle des composantes.
Principe
Principe
Rassembler l'information des deuxièmes moments : calculer les espérances des produits croisés moins le produit des espérances ; la matrice est symétrique et semi‑définie positive, reflétant les variances et la dépendance linéaire.
Démonstration
Démonstration
Avec n observations indépendantes d‑dimension x₁,…,x_n, la matrice de covariance empirique S = (1/(n-1)) ∑ (x_i − 9x)(x_i − 9x)^T a pour entrée S_{jk} la covariance empirique entre les coordonnées j et k.
Mauvaise application
Mauvaise application
Interpréter une covariance nulle comme une indépendance totale (la covariance nulle ne signifie pas absence de dépendance non linéaire) ou utiliser la covariance empirique sur des séries fortement non stationnaires sans retirer tendances ou saisonnalités.
Conséquence
Conséquence
Une utilisation correcte donne les directions de forte et faible variabilité, oriente les estimateurs linéaires et la propagation d'erreur, définit des distances de type Mahalanobis et paramètre la dispersion d'une gaussienne multivariée.
Inversion
Inversion
La matrice de précision (l'inverse de la covariance lorsque défini) met en évidence les relations conditionnelles et des structures d'éparcissement plutôt que les covariances marginales.
Limite
Limite
Ne résume que des relations linéaires d'ordre deux et nécessite des second moments finis ; elle ne capture pas la dépendance non linéaire ni les moments d'ordre supérieur et peut être mal conditionnée pour peu d'échantillons par rapport à la dimension.
Tension sémantique
Tension sémantique
La matrice de corrélation est une forme normalisée de la matrice de covariance ; la confusion survient lorsqu'on compare des covariances sensibles à l'échelle et des corrélations sans dimension.
Synthèse
Synthèse
La matrice de covariance est la matrice symétrique semi‑définie positive des covariances croisées, qui représente de manière compacte la dispersion linéaire et les relations d'échelle d'une loi multivariée.