Matriz cuadrada cuyo elemento (i,j) es la covarianza entre la i-ésima y la j-ésima componente de un vector aleatorio; codifica la dispersión lineal y la escala mutua de las componentes.

Principio

Agrega información de segundos momentos: calcular esperanzas de productos cruzados menos el producto de las esperanzas; la matriz es simétrica y semidefinida positiva, reflejando varianzas y estructura de dependencia lineal.

Demostración

Dadas n observaciones independientes de dimensión d x₁,…,x_n, la matriz de covarianza muestral S = (1/(n-1)) ∑ (x_i − 9x)(x_i − 9x)^T tiene la entrada S_{jk} igual a la covarianza muestral entre las coordenadas j y k.

Aplicación incorrecta

Interpretar covarianza nula como independencia total (la covarianza nula no excluye dependencia no lineal) o usar la covarianza muestral sobre series fuertemente no estacionarias sin eliminar tendencias o estacionalidad.

Consecuencia

Su uso correcto da direcciones de alta y baja variabilidad, informa estimadores lineales y propagación de errores, define distancias tipo Mahalanobis y parametriza la dispersión de una gaussiana multivariante.

Inversión

La matriz de precisión (la inversa cuando existe) enfatiza relaciones condicionales y patrones de esparsidad en lugar de covarianzas marginales.

Límite

Sólo resume relaciones lineales de segundo orden y requiere momentos segundos finitos; no captura dependencia no lineal ni momentos superiores y puede ser mal condicionada con pocas muestras respecto a la dimensión.

Tensión semántica

La matriz de correlación es una forma normalizada de la matriz de covarianza; confusión ocurre al comparar covarianzas dependientes de escala con correlaciones adimensionales.

Síntesis

La matriz de covarianza es la matriz simétrica semidefinida positiva de covarianzas cruzadas que representa de forma compacta la dispersión lineal y las relaciones de escala de una distribución multivariada.