Die Treppenfunktion, die jedem reellen Wert x den Anteil der Stichprobenbeobachtungen ≤ x zuordnet; ein nichtparametrischer Schätzer der zugrundeliegenden Verteilungsfunktion.

Prinzip

Für eine Stichprobe der Größe n gilt EVF(x) = (1/n) ∑_{i=1}^n 1_{X_i ≤ x}; sie verwendet direkt Stichprobenränge und konvergiert gleichmäßig gegen die wahre Verteilungsfunktion mit wachsendem Stichprobenumfang.

Demonstration

Für die Stichprobe {2,3,5} ist die EVF 0 für x<2, 1/3 für 2≤x<3, 2/3 für 3≤x<5 und 1 für x≥5, wobei sie bei jedem beobachteten Wert um 1/n ansteigt.

Fehlanwendung

Die EVF als Dichteschätzer ohne Glättung zu verwenden (Ableiten der Treppenfunktion) liefert inkonsistente oder verrauschte Dichteschätzungen; auch der Vergleich von EVFs aus abhängigen Stichproben ohne Anpassung kann irreführend sein.

Konsequenz

Bietet einen distributionsfreien Schätzer für kumulative Wahrscheinlichkeiten, bildet die Grundlage nichtparametrischer Fit‑ und Zwei‑Stichproben‑Verfahren und dient als Basis für Bootstrap- und Rangmethoden.

Umkehrung

Eine parametrische Verteilungsfunktion wird durch eine endliche Menge Parameter und eine glatte Funktionsform bestimmt; sie liefert interpolierte Wahrscheinlichkeitsaussagen, bringt jedoch strukturielle Annahmen mit sich, die der EVF fehlen.

Abgrenzung

Natürlich definiert für skalare Beobachtungen mit totaler Ordnung; die multivariate Verallgemeinerung ist nicht eindeutig und erfordert die Wahl von Rändern, Projektionen oder Teilordnungen.

Semantische Spannung

Kernel‑Dichteschätzer erzeugen glatte Dichteschätzungen durch Glättung der Beobachtungen, während die EVF kumulative Wahrscheinlichkeiten ohne Glättung schätzt; der Zielkonflikt liegt zwischen unverzerrten exakten Rängen und dem Bias/Varianz‑Verhalten des Glättens.

Synthese

Die EVF ist der stichprobenbasierte treppenförmige Schätzer der Verteilungsfunktion, der empirische Wahrscheinlichkeiten an Schwellen zuordnet und mit wachsender Stichprobe zur wahren Verteilung konvergiert.