La fonction en marches qui associe à chaque valeur réelle x la fraction des observations de l'échantillon inférieures ou égales à x ; estimateur non paramétrique de la fonction de répartition sous-jacente.

Principe

Pour un échantillon de taille n, FRÉ(x) = (1/n) ∑_{i=1}^n 1_{X_i ≤ x} ; elle utilise directement les rangs d'échantillon et converge uniformément vers la vraie fonction de répartition lorsque la taille d'échantillon augmente.

Démonstration

Pour l'échantillon {2,3,5}, la FRÉ vaut 0 pour x<2, 1/3 pour 2≤x<3, 2/3 pour 3≤x<5 et 1 pour x≥5, augmentant de 1/n à chaque valeur observée.

Mauvaise application

Considérer la FRÉ comme estimateur de densité sans lissage (différentiation de la fonction en marches) donne des estimations de densité incohérentes ou bruyantes ; comparer des FRÉ issues d'échantillons dépendants sans ajustement peut induire en erreur.

Conséquence

Fournit un estimateur sans distribution imposée pour les probabilités cumulées, soutient des procédures non paramétriques d'ajustement et de comparaison d'échantillons, et sert de base au bootstrap et aux méthodes basées sur les rangs.

Inversion

Une distribution paramétrique est spécifiée par un nombre fini de paramètres et une forme fonctionnelle lisse ; elle donne des déclarations de probabilité interpolées mais impose des hypothèses structurelles absentes de la FRÉ.

Limite

Définie naturellement pour des observations scalaires avec un ordre total ; la généralisation multivariée n'est pas unique et exige le choix de marges, de projections ou d'ordres partiels.

Tension sémantique

Les estimateurs de densité à noyau produisent des estimations de densité lisses en lissant les observations, tandis que la FRÉ estime les probabilités cumulées sans lissage ; le compromis porte sur les rangs exacts non biaisés versus le biais/variance du lissage.

Synthèse

La FRÉ est l'estimateur empirique en marches de la fonction de répartition qui attribue des probabilités empiriques aux seuils et converge vers la distribution vraie avec l'augmentation de la taille d'échantillon.