La función escalonada que asigna a cada valor real x la fracción de observaciones muestrales menores o iguales a x; un estimador no paramétrico de la función de distribución acumulada subyacente.

Principio

Para una muestra de tamaño n, FE(x) = (1/n) ∑_{i=1}^n 1_{X_i ≤ x}; utiliza directamente los rangos muestrales y converge uniformemente a la verdadera distribución acumulada conforme aumenta el tamaño muestral.

Demostración

Para la muestra {2,3,5}, la FE es 0 para x<2, 1/3 para 2≤x<3, 2/3 para 3≤x<5 y 1 para x≥5, aumentando en 1/n en cada valor observado.

Aplicación incorrecta

Tratar la FE como estimador de densidad sin suavizado (diferenciar la función escalonada) produce estimaciones de densidad ruidosas o inconsistentes; comparar FEs de muestras dependientes sin ajuste puede inducir a error.

Consecuencia

Proporciona un estimador libre de distribución para probabilidades acumuladas, sustenta pruebas no paramétricas de bondad de ajuste y de dos muestras, y forma la base para bootstrap y métodos basados en rangos.

Inversión

Una distribución paramétrica se especifica por un conjunto finito de parámetros y una forma funcional suave; ofrece declaraciones de probabilidad interpoladas pero impone supuestos estructurales ausentes en la FE.

Límite

Definida naturalmente para observaciones escalares con un orden total; la generalización multivariante no es única y requiere elegir márgenes, proyecciones u órdenes parciales.

Tensión semántica

Los estimadores de densidad por núcleo producen estimaciones suaves mediante suavizado, mientras que la FE estima probabilidades acumuladas sin suavizado; la disyuntiva es entre rangos exactos no sesgados y el sesgo/varianza del suavizado.

Síntesis

La FE es el estimador muestral escalonado de la función de distribución acumulada que asigna probabilidades empíricas a umbrales y converge a la distribución verdadera al aumentar la muestra.