Die Wahrscheinlichkeitsverteilung zukünftiger oder unbeobachteter Observablen, erhalten durch das Mittel der Modellverteilung für neue Daten über die posteriori-Verteilung der Parameter, bedingt auf beobachtete Daten.

Prinzip

Parameterunsicherheit in Vorhersagen übertragen, indem die Likelihood für neue Observablen gegen das Posteriormaß integriert wird, wodurch prädiktive Wahrscheinlichkeiten entstehen, die sowohl Daten- als auch Parameterunsicherheit berücksichtigen.

Demonstration

In einem Zählmodell mit Poisson-Likelihood p(y|θ) = Poisson(θ) und einem konjugierten Posterior für θ aus beobachteten Zählungen erhält man die posterior-prädiktive Verteilung für eine neue Zählung y* durch Integration von Poisson(y*|θ) gegen die Posterior-Dichte von θ, was in konjugierten Fällen eine geschlossene Mischverteilung (z. B. negative Binomialverteilung) ergibt.

Fehlanwendung

Die posterior-prädiktive Verteilung als alleiniges Maß für Modellangemessenheit zu verwenden, ohne prädiktive Kalibrierung zu prüfen oder sie heranzuziehen, um Modelle mit unterschiedlichen Likelihoods zu vergleichen, ohne Überanpassung zu berücksichtigen.

Konsequenz

Bietet ein kohärentes Werkzeug für Prognosen, Unsicherheitsquantifizierung bei neuen Beobachtungen und prinzipielle Modellprüfungen mittels posterior-prädiktiver Checks und prädiktiver Intervalle.

Umkehrung

Die prior-prädiktive Verteilung integriert die Likelihood gegen die Prior statt gegen das Posterior und wird verwendet, um die Folgen der Priorannahmen vor Sichtung der Daten zu bewerten.

Abgrenzung

Erfordert ein spezifiziertes Likelihood-Modell und eine (berechenbare) Posterior-Verteilung; ist nicht wohldefiniert, wenn das Posterior improper oder nicht normalisierbar ist oder wenn die Likelihood für neue Daten nicht ausgewertet oder über das Posterior integriert werden kann.

Semantische Spannung

Spannung zwischen posterior-prädiktiver Verteilung und Vorhersagen mittels Kreuzvalidierung: erstere konditioniert auf den gesamten Datensatz und mittelt über Parameter, letztere schätzt die Ausser-Stichproben-Leistung durch Zurückhalten von Daten und kann Überanpassung besser diagnostizieren.

Synthese

Die posterior-prädiktive Verteilung ist die Vorhersagegesetz für zukünftige Observablen, erzeugt durch Mittelung der Modell-Sampling-Verteilung über die posteriori-Unsicherheit der Parameter und liefert Prognosen und Diagnostik, die datenbasiertes Parameterlernen einbeziehen.