La distribution de probabilité des observables futures ou non observées obtenue en moyennant la vraisemblance du modèle pour de nouvelles données sur la distribution a posteriori des paramètres conditionnée aux données observées.

Principe

Propager l'incertitude des paramètres dans les prédictions en intégrant la vraisemblance pour de nouvelles observables contre la mesure a posteriori, produisant des probabilités prédictives qui tiennent compte à la fois des données et de l'incertitude paramétrique.

Démonstration

Dans un modèle de comptage avec vraisemblance de Poisson p(y|θ) = Poisson(θ) et un a posteriori conjugué pour θ issu des comptes observés, la prédictive a posteriori pour un nouveau compte y* s'obtient en intégrant Poisson(y*|θ) contre la densité a posteriori de θ, donnant une loi mélange en forme fermée (par ex. binomiale négative dans des cas conjugués courants).

Mauvaise application

Utiliser la distribution prédictive a posteriori comme unique mesure d'adéquation du modèle sans vérifier la calibration prédictive ou l'employer pour comparer des modèles avec des spécifications de vraisemblance différentes sans tenir compte du surapprentissage.

Conséquence

Fournit un outil cohérent pour la prévision, la quantification d'incertitude pour de nouvelles observations et la vérification de modèle par contrôles prédictifs a posteriori et intervalles prédictifs.

Inversion

La distribution prédictive a priori intègre la vraisemblance contre la loi a priori plutôt que contre le posterior et sert à évaluer les implications des hypothèses a priori avant l'observation des données.

Limite

Nécessite un modèle de vraisemblance spécifié et une distribution a posteriori (calculable) ; mal définie lorsque le posterior est impropre, non normalisable, ou lorsque la vraisemblance pour de nouvelles données ne peut pas être évaluée ou intégrée sur le posterior.

Tension sémantique

Tension entre la distribution prédictive a posteriori et les estimations prédictives par validation croisée : la première conditionne sur l'ensemble des données et moyenne sur les paramètres, tandis que la seconde estime la performance hors échantillon en retenant des données et peut mieux diagnostiquer le surapprentissage.

Synthèse

La distribution prédictive a posteriori est la loi prédictive pour les observables futures obtenue en moyennant la loi d'échantillonnage du modèle sur l'incertitude a posteriori des paramètres, fournissant prévisions et diagnostics qui incorporent l'apprentissage paramétrique fondé sur les données.