La distribución de probabilidad de observables futuros o no observados obtenida promediando la verosimilitud del modelo para nuevos datos sobre la distribución posterior de los parámetros condicionada a los datos observados.

Principio

Propagar la incertidumbre de los parámetros en las predicciones integrando la verosimilitud para nuevas observables frente a la medida posterior, dando probabilidades predictivas que consideran tanto los datos como la incertidumbre paramétrica.

Demostración

En un modelo de recuentos con verosimilitud de Poisson p(y|θ) = Poisson(θ) y un posterior conjugado para θ a partir de recuentos observados, la predictiva posterior para un nuevo recuento y* se obtiene integrando Poisson(y*|θ) contra la densidad posterior de θ, dando una distribución mezcla en forma cerrada (p. ej. binomial negativa en casos conjugados comunes).

Aplicación incorrecta

Usar la distribución predictiva posterior como la única medida de adecuación del modelo sin verificar la calibración predictiva o emplearla para comparar modelos con diferentes especificaciones de verosimilitud sin tener en cuenta el sobreajuste.

Consecuencia

Proporciona una herramienta coherente para predicción, cuantificación de incertidumbre para nuevas observaciones y comprobación de modelo mediante chequeos predictivos posteriores e intervalos predictivos.

Inversión

La distribución predictiva a priori integra la verosimilitud frente a la prior en lugar del posterior y se usa para evaluar las implicaciones de las suposiciones de la prior antes de ver los datos.

Límite

Requiere un modelo de verosimilitud especificado y una distribución posterior (computable); está mal definida cuando el posterior es impropio, no normalizable, o cuando la verosimilitud para nuevos datos no puede evaluarse o integrarse sobre el posterior.

Tensión semántica

Tensión entre la distribución predictiva posterior y las estimaciones predictivas por validación cruzada: la primera condiciona en todo el conjunto de datos y promedia sobre parámetros, mientras que la segunda estima el rendimiento fuera de muestra reteniendo datos y puede diagnosticar mejor el sobreajuste.

Síntesis

La distribución predictiva posterior es la ley predictiva para observables futuros producida al promediar la distribución de muestreo del modelo sobre la incertidumbre posterior en los parámetros, proporcionando pronósticos y diagnósticos que incorporan el aprendizaje paramétrico basado en los datos.