Eine quadratische Matrix mit nichtnegativen Einträgen, deren Zeilen aufsummiert eins ergeben; sie repräsentiert Ein-Schritt-Übergangswahrscheinlichkeiten einer diskreten, endlich zuständigen Markov-Kette nach der Zeilenkonvention.

Prinzip

Jede Zeile ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung: Nichtnegativität und Ein-Zeilensummen erzwingen die Erhaltung der Gesamtwahrscheinlichkeit und ermöglichen die Verkettung von Schritten durch Matrixmultiplikation.

Demonstration

Eine 3×3-Matrix P, wobei P_{ij} die Wahrscheinlichkeit ist, vom Zustand i nach Zustand j zu wechseln; die Verteilung nach zwei Schritten erhält man, indem man einen initialen Zeilenwahrscheinlichkeitsvektor zweimal mit P multipliziert (vP^2).

Fehlanwendung

Eine Matrix mit negativen Einträgen oder Zeilen, die nicht zu eins aufsummieren, als stochastisch zu behandeln, oder eine zeilenstochastische Matrix fälschlich direkt als infinitesimalen Generator eines zeitkontinuierlichen Prozesses zu verwenden.

Konsequenz

Bei korrekter Anwendung liefert die wiederholte Multiplikation eines Zeilenwahrscheinlichkeitsvektors mit der Matrix die diskrete Zeitentwicklung der Kette; das Langzeitverhalten wird durch Wahrscheinlichkeitsvektoren π mit π = πP und durch Übergangspotenzen beschrieben, die mehrstufige Wahrscheinlichkeiten angeben.

Umkehrung

Wendet man die gleiche Nichtnegativitäts- und Ein-Summen-Bedingung auf Spalten an, erhält man eine spaltenstochastische Matrix, die eine andere Konvention (rückwärts oder spaltenweise Übergänge) darstellt und die Aktualisierung der Zustandsverteilungen ändert.

Abgrenzung

Die Definition gilt für endliche, diskrete Zeit, endlichdimensionale Matrizen mit nichtnegativen Einträgen und Ein-Zeilensummen; ausgeschlossen sind substochastische Matrizen, unendliche Kernoperatoren ohne Normierung und Generatoren für zeitkontinuierliche Prozesse (infinitesimale Ratenmatrizen).

Semantische Spannung

Ein 'Übergangskern' ist die maßtheoretische Verallgemeinerung desselben Konzepts für stetige oder überabzählbare Zustandsräume; eine stochastische Matrix ist die endliche, algebraische Ausprägung dieses Kerns und nicht gleichwertig, wenn maßtheoretische Struktur relevant ist.

Synthese

Eine stochastische Matrix ist der endliche, zeilenweise normalisierte lineare Operator, der Ein-Schritt-Übergangswahrscheinlichkeiten codiert; ihre algebraischen Bedingungen (Nichtnegativität und Zeilensummen eins) gewährleisten probabilistische Verkettung und Erhaltung bei Iteration.