Une matrice carrée à coefficients non négatifs dont les lignes somment à un, utilisée pour représenter les probabilités de transition en un pas d'une chaîne de Markov discrète à états finis selon la convention lignes.

Principe

Chaque ligne est une loi de probabilité : la non-négativité et la somme unitaire des lignes assurent la conservation de la probabilité totale et permettent la composition des pas par multiplication matricielle.

Démonstration

Une matrice P de taille 3×3 où P_{ij} est la probabilité de passer de l'état i à l'état j ; la distribution après deux pas s'obtient en multipliant un vecteur ligne de probabilités initial par P deux fois (vP^2).

Mauvaise application

Considérer comme stochastique une matrice à coefficients négatifs ou dont les lignes ne somment pas à un, ou employer directement une matrice ligne-stochastique comme générateur infinitésimal d'un processus en temps continu sans conversion.

Conséquence

Bien appliquée, la multiplication répétée d'un vecteur ligne de probabilités par la matrice fournit l'évolution discrète de la chaîne ; le comportement à long terme est caractérisé par des vecteurs de probabilités π tels que π = πP et par les puissances de transition qui décrivent les probabilités multi-pas.

Inversion

Interpréter la même contrainte non négative et de somme unitaire sur les colonnes donne une matrice colonne-stochastique, qui représente une convention différente (transitions en sens inverse ou par colonnes) et modifie la mise à jour des distributions d'état.

Limite

La définition s'applique aux matrices finies, en temps discret et de dimension finie, à coefficients non négatifs et somme des lignes égale à un ; elle exclut les matrices sous-stochastiques, les noyaux de dimension infinie non normalisés et les générateurs en temps continu (matrices de taux infinitésimaux).

Tension sémantique

Le « noyau de transition » est une généralisation mesurable de la même idée pour des espaces d'états continus ou non dénombrables ; une matrice stochastique est l'instance algébrique finie de ce noyau et n'est pas interchangeable quand la structure mesurable importe.

Synthèse

Une matrice stochastique est l'opérateur linéaire fini, normalisé par ligne, qui encode les probabilités de transition en un pas ; ses contraintes algébriques (non-négativité et sommes de lignes égales à un) garantissent la composition probabiliste et la conservation lorsqu'on l'itère.