Una matriz cuadrada con entradas no negativas cuyas filas suman uno, usada para representar probabilidades de transición en un paso de una cadena de Markov en tiempo discreto de estado finito según la convención por filas.

Principio

Cada fila es una distribución de probabilidad: la no negatividad y la suma unitaria de las filas garantizan la conservación de la probabilidad total y permiten componer pasos mediante multiplicación matricial.

Demostración

Una matriz P de 3×3 donde P_{ij} es la probabilidad de pasar del estado i al estado j; la distribución tras dos pasos se obtiene multiplicando un vector fila de probabilidades inicial por P dos veces (vP^2).

Aplicación incorrecta

Tratar como estocástica una matriz con entradas negativas o filas que no suman uno, o usar una matriz fila-estocástica directamente como generador infinitesimal de un proceso en tiempo continuo sin convertirla apropiadamente.

Consecuencia

Aplicada correctamente, la multiplicación repetida de un vector fila de probabilidades por la matriz produce la evolución discreta de la cadena; el comportamiento a largo plazo se caracteriza por vectores de probabilidad π tales que π = πP y por las potencias de transición que describen probabilidades multi‑paso.

Inversión

Interpretar la misma condición de no negatividad y suma unitaria sobre las columnas da una matriz columna-estocástica, que representa otra convención (transiciones hacia atrás o por columnas) y cambia la forma en que se actualizan las distribuciones de estado.

Límite

La definición se aplica a matrices finitas, en tiempo discreto y de dimensión finita, con entradas no negativas y suma de filas igual a uno; excluye matrices subestocásticas, núcleos de dimensión infinita sin normalización y generadores en tiempo continuo (matrices de tasas infinitesimales).

Tensión semántica

El 'núcleo de transición' es la generalización medida-teórica de la misma idea para espacios de estado continuos o no numerables; una matriz estocástica es la instancia algebraica finita de dicho núcleo y no es intercambiable cuando la estructura medida-teórica es relevante.

Síntesis

Una matriz estocástica es el operador lineal finito normalizado por filas que codifica probabilidades de transición en un paso; sus restricciones algebraicas (no negatividad y sumas de filas iguales a uno) garantizan la composición probabilística y la conservación al iterarla.