Eine Darstellung einer Funktion oder eines Signals durch Koeffizienten, die aus Skalarprodukten mit einer Familie lokalisierter, skalenveränderter und verschobener Basisfunktionen (Wavelets) gewonnen werden und sowohl Skalen- als auch Ortsinformationen kodieren.

Prinzip

Zerlegung eines Signals in Komponenten auf mehreren Skalen durch Anwendung von Dilatations- und Translationsoperatoren auf ein kompakt unterstütztes oder schnell abklingendes Prototyp; Koeffizienten zeigen lokalisierte Merkmale auf verschiedenen Auflösungen.

Demonstration

Berechnung der kontinuierlichen Wavelet-Transformation eines transienten Audiosignals mit einer Morlet-Wavelet: die Transformation liefert für kleine Skalen stark ausgeprägte Koeffizienten lokal um das Impulszeitpunkt und für große Skalen einen anhaltenden niederfrequenten Koeffizienten.

Fehlanwendung

Anwenden von Schrumpfungen auf Wavelet-Koeffizienten, als wären diese unabhängig und aus weißem Rauschen, obwohl das Rauschen korreliert ist, was zu verzerrtem Entrauschen und Artefakten führt.

Konsequenz

Ermöglicht spärliche, multiskalige Darstellungen, die lokales Entrauschen, Kompression, Kantenerkennung und skalenabhängige Merkmalsextraktion erlauben.

Umkehrung

Eine rein globale Frequenzbasis (stationäre Sinus-/Kosinus-Basis) priorisiert Frequenzauflösung zulasten der zeitlichen oder räumlichen Lokalisation.

Abgrenzung

Definiert für Funktionen oder diskrete Signale in L2 oder geeigneten Folgenräumen und für kontinuierliche oder diskrete Implementierungen; nicht anwendbar auf Objekte ohne Skalen- oder Translationsbegriff.

Semantische Spannung

Steht im Konkurrenzverhältnis zur kurzzeitigen Fourier-Transformation: Beide lokalisieren in Zeit und Frequenz, Wavelets passen jedoch die Auflösung mit der Skala an, während die Fenster-Fourier feste Auflösung verwendet.

Synthese

Die Wavelet-Transformation ist eine skalenlokalisierte lineare Zerlegung, die ein Signal als Summe lokalisierter Bausteine darstellt und zwischen Zeit (oder Raum) und Skala aufteilt, um multiskalige Struktur zu offenbaren.