Représentation d'une fonction ou d'un signal par des coefficients obtenus par produits scalaires avec une famille de fonctions de base localisées, dilatées et translatées (ondelettes), codant à la fois l'information d'échelle et de position.

Principe

Décomposer un signal en composantes à échelles multiples en appliquant des opérateurs de dilatation et de translation à un prototype à support compact ou à décroissance rapide ; les coefficients mettent en évidence des caractéristiques localisées selon la résolution.

Démonstration

Calculer la transformée en ondelettes continue d'une impulsion audio transitoire avec une ondelette de Morlet : la transformée produit des coefficients de forte amplitude localisés près du temps de l'impulsion pour les petites échelles et un coefficient de basse fréquence soutenu pour les grandes échelles.

Mauvaise application

Appliquer un seuillage aux coefficients d'ondelettes comme s'ils étaient indépendants et issus d'un bruit blanc alors que le bruit est corrélé, entraînant un débruitage biaisé et des artefacts.

Conséquence

Fournit des représentations parcimonieuses et multirésolution permettant le débruitage localisé, la compression, la détection de bords et l'extraction de caractéristiques dépendant de l'échelle.

Inversion

Une base fréquentielle purement globale (base stationnaire sinus/cosinus) privilégie la résolution en fréquence au détriment de la localisation temporelle ou spatiale.

Limite

Définie pour des fonctions ou signaux discrets dans L2 ou des espaces de suites adaptés et pour des versions continues ou discrètes ; non applicable aux objets dépourvus de notion d'échelle ou de translation.

Tension sémantique

Concurrence la transformée de Fourier à fenêtre temporelle : les deux localisent dans le temps et la fréquence, mais les ondelettes adaptent la résolution selon l'échelle tandis que la transformée à fenêtre utilise une résolution fixe.

Synthèse

La transformée en ondelettes est une décomposition linéaire localisée en échelle qui exprime un signal comme une somme de blocs élémentaires localisés, échangeant résolution entre temps (ou espace) et échelle pour révéler la structure multirésolution.