Representación de una función o señal mediante coeficientes obtenidos de productos internos con una familia de funciones base localizadas, dilatadas y trasladadas (wavelets), que codifican información de escala y localización.

Principio

Descomponer una señal en componentes en múltiples escalas aplicando operadores de dilatación y traslación a un prototipo de soporte compacto o de rápida decaimiento; los coeficientes revelan rasgos localizados en distintas resoluciones.

Demostración

Calcular la transformada wavelet continua de un pulso transitorio de audio usando una wavelet de Morlet: la transformada produce coeficientes de gran magnitud localizados cerca del tiempo del pulso para escalas pequeñas y un coeficiente de baja frecuencia sostenido para escalas grandes.

Aplicación incorrecta

Aplicar umbralizado a los coeficientes wavelet como si fueran independientes y provinieran de ruido blanco cuando el ruido está correlacionado, provocando un denoising sesgado y artefactos.

Consecuencia

Proporciona representaciones dispersas y multiresolución que permiten denoising localizado, compresión, detección de bordes y extracción de características dependientes de la escala.

Inversión

Una base de frecuencias puramente global (base estacionaria seno/coseno) prioriza la resolución en frecuencia a costa de la localización temporal o espacial.

Límite

Definida para funciones o señales discretas en L2 o en espacios de sucesiones adecuados y para implementaciones continuas o discretas; no aplicable a objetos sin noción de escala o traslación.

Tensión semántica

Compite con la transformada de Fourier con ventana corta: ambas localizan en tiempo y frecuencia, pero las wavelets adaptan la resolución según la escala mientras la transformada con ventana usa resolución fija.

Síntesis

La transformada wavelet es una descomposición lineal localizada en escala que expresa una señal como suma de bloques localizados, repartiendo resolución entre tiempo (o espacio) y escala para revelar estructura multiresolución.