Die quadratische Matrix der partiellen zweiten Ableitungen einer skalaren, zweimal differenzierbaren Funktion; sie kodiert die lokale Krümmung und den quadratischen Term der Taylor-Entwicklung.

Prinzip

Sammle die zweiten partiellen Ableitungen ∂^2 f / ∂x_i ∂x_j in einer symmetrischen Matrix, wenn gemischte Partielle gleich sind; verwende sie zur quadratischen Approximation f(x + h) ≈ f(x) + ∇f(x)⋅h + (1/2) h^T H h.

Demonstration

Für f(x,y) = 3x^2 + x y + sin(y) ist die Hesse-Matrix am Punkt (x,y) [[6,1],[1,-sin(y)]], welche Krümmungsrichtungen und -stärken dort bestimmt.

Fehlanwendung

Die Hesse-Matrix an einem Punkt zu verwenden, an dem die Funktion nicht zweimal differenzierbar ist, oder Sprünge in zweiten Ableitungen zu ignorieren, führt zu fehlerhaften Krümmungsschlüssen.

Konsequenz

Ist sie wohl definiert, klassifiziert die Hesse-Matrix lokale Extrema (über Definitheit), steuert Schrittwahl in Zweitordnungs-Optimierungsverfahren und beschreibt lokale anisotrope Krümmung.

Umkehrung

Der Gradient liefert Informationen erster Ordnung über richtungsabhängige Veränderungen, enthält jedoch keine direkten Krümmungsdaten; allein auf Gradienten zu bauen, vernachlässigt das Zweitordnungsverhalten.

Abgrenzung

Gilt für skalare Funktionen mit existierenden zweiten partiellen Ableitungen in einer Umgebung; nicht definiert für nicht differenzierbare Funktionen oder für vektorwertige Funktionen ohne skalare Repräsentation.

Semantische Spannung

Eng verwandt mit der Jacobimatrix bei vektorwertigen Abbildungen: Die Jacobi sammelt erste Ableitungen, die Hesse zweite Ableitungen für skalare Felder — das kann bei unterschiedlichen Domain-/Codomain-Typen zu Verwechslungen führen.

Synthese

Die Hesse-Matrix ist das kanonische Objekt zweiter Ableitungen, das lokale Krümmung in eine symmetrische quadratische Form bündelt und für Extrema-Analyse sowie zweitordentliche Approximation zentral ist.