La matrice carrée des dérivées partielles d'ordre deux d'une fonction à valeurs scalaires et deux fois différentiable ; elle encode la courbure locale et le terme quadratique du développement de Taylor.

Principe

Rassembler les dérivées partielles secondes ∂^2 f / ∂x_i ∂x_j dans une matrice symétrique lorsque les dérivées croisées coïncident ; l'utiliser pour construire l'approximation quadratique f(x + h) ≈ f(x) + ∇f(x)⋅h + (1/2) h^T H h.

Démonstration

Pour f(x,y) = 3x^2 + x y + sin(y), la matrice hessienne au point (x,y) est [[6,1],[1,-sin(y)]], qui détermine les directions et amplitudes de courbure en ce point.

Mauvaise application

Utiliser la hessienne en un point où la fonction n'est pas deux fois différentiable ou ignorer des discontinuités des dérivées secondes, conduisant à des conclusions incorrectes sur la courbure.

Conséquence

Quand elle est bien définie, la hessienne classe les extrema locaux (via la positivité/définitude), informe le choix de pas dans les méthodes d'optimisation d'ordre deux et décrit la courbure locale anisotrope.

Inversion

Le gradient capture l'information de premier ordre sur la variation directionnelle mais ne fournit aucune donnée directe sur la courbure ; se fonder uniquement sur les gradients néglige le comportement d'ordre deux.

Limite

S'applique aux fonctions scalaires possédant des dérivées partielles secondes dans un voisinage ; non définie pour les fonctions non différentiables ni pour les fonctions à valeurs vectorielles sans passer par un proxy scalaire.

Tension sémantique

Étroitement liée à la jacobienne pour les applications à valeurs vectorielles : la jacobienne rassemble les dérivées premières, tandis que la hessienne rassemble les secondes pour les champs scalaires — source possible de confusion selon domaine et codomaine.

Synthèse

La matrice hessienne est l'objet canonique des dérivées d'ordre deux qui condense la courbure locale en une forme quadratique symétrique, centrale pour l'analyse des extrema et l'approximation d'ordre deux.