La matriz cuadrada de derivadas parciales de segundo orden de una función escalar dos veces diferenciable; codifica la curvatura local y el término cuadrático de la expansión de Taylor.

Principio

Reunir las derivadas parciales segundas ∂^2 f / ∂x_i ∂x_j en una matriz simétrica cuando las derivadas mixtas conmutan; usarla para la aproximación cuadrática f(x + h) ≈ f(x) + ∇f(x)⋅h + (1/2) h^T H h.

Demostración

Para f(x,y) = 3x^2 + x y + sin(y), la Hessiana en (x,y) es [[6,1],[1,-sin(y)]], que determina direcciones y magnitudes de curvatura en ese punto.

Aplicación incorrecta

Usar la Hessiana en un punto donde la función no es dos veces diferenciable o desatender discontinuidades en las segundas derivadas, produciendo inferencias de curvatura incorrectas.

Consecuencia

Cuando está bien definida, la Hessiana clasifica extremos locales (mediante definitud), orienta la selección de paso en métodos de optimización de segundo orden y describe la curvatura local anisótropa.

Inversión

El gradiente captura la variación direccional de primer orden pero no aporta información directa sobre curvatura; fiarse solo de gradientes ignora el comportamiento de segundo orden.

Límite

Se aplica a funciones escalares con derivadas parciales segundas existentes en una vecindad; no está definida para funciones no diferenciables ni para funciones de valor vectorial sin un análogo escalar.

Tensión semántica

Estrechamente relacionada con la Jacobiana para mapas con salida vectorial: la Jacobiana reúne derivadas primeras, la Hessiana las segundas de campos escalares — fuente de confusión si dominio y codominio difieren.

Síntesis

La matriz Hessiana es el objeto canónico de las segundas derivadas que empaqueta la curvatura local en una forma cuadrática simétrica, central para el análisis de extremos y la aproximación de segundo orden.