Die fundamentale Lösung (Integral-Kern) der Wärme-(Diffusions-)Gleichung für einen gegebenen elliptischen Operator; sie liefert die Temperatur (oder Dichte) an einem Punkt und Zeitpunkt, erzeugt durch eine unmittelbare Einheitsquelle an einem anderen Punkt.

Prinzip

Löse ∂_t u = L u mit Anfangsdaten einer Dirac-Delta; der Wärmekern K(t,x,y) erfüllt u(t,x) = ∫ K(t,x,y) u(0,y) dy und die Halbgruppeneigenschaft K(t+s,x,y)=∫ K(t,x,z)K(s,z,y) dz.

Demonstration

Im euklidischen Raum R^n mit L dem Laplace-Operator ist der Wärmekern K(t,x,y) = (4π t)^{-n/2} exp(−|x−y|^2/(4t)), der Punktquellen für t>0 sofort glättet und Masse verteilt.

Fehlanwendung

Den Wärmekern für negative Zeiten zu verwenden oder seine Kurzzeit-Asymptotik als global genaue Beschreibung auf Mannigfaltigkeiten mit nichttrivialer Geometrie anzuwenden, führt zu falschen Schlüssen.

Konsequenz

Wirkt als glättender Operator, der Anfangsdaten regularisiert, spektrale und geometrische Informationen des Gebiets kodiert und Kurzzeitentwicklungen liefert, die mit Krümmungsinvarianten verknüpft sind.

Umkehrung

Ein Propagator für eine hyperbolische Gleichung (Wellenkern) transportiert Singularitäten entlang von Charakteristiken mit endlicher Geschwindigkeit, während der Wärmekern sofortige Glättung mit unendlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit bewirkt.

Abgrenzung

Definiert für elliptische Erzeuger und für t>0; auf Mannigfaltigkeiten ändern Randbedingungen den Kern; nicht anwendbar auf nicht-diffusive oder stark nichtlokale Dynamiken ohne Diffusionsgenerator.

Semantische Spannung

Nahe an der Greenschen Funktion des elliptischen Operators in zeitintegrierter Form, aber der Wärmekern ist zeitabhängig und liefert eine Entwicklung statt einer statischen Inversen.

Synthese

Der Wärmekern ist der zeitabhängige Integralkern, der Anfangsdaten unter Diffusion fortpflanzt und glättet und dabei analytische Eigenschaften des Erzeugers sowie geometrische Merkmale des Raums widerspiegelt.