La solution fondamentale (noyau intégral) de l'équation de la chaleur (diffusion) pour un opérateur elliptique donné ; elle donne la température (ou densité) en un point et un instant produite par une source ponctuelle unitaire instantanée en un autre point.

Principe

Résoudre ∂_t u = L u avec comme condition initiale une delta de Dirac ; le noyau de chaleur K(t,x,y) vérifie u(t,x) = ∫ K(t,x,y) u(0,y) dy et la propriété de semigroupe K(t+s,x,y)=∫ K(t,x,z)K(s,z,y) dz.

Démonstration

Sur l'espace Euclidien R^n avec L le laplacien, le noyau de chaleur est K(t,x,y) = (4π t)^{-n/2} exp(−|x−y|^2/(4t)), qui lisse instantanément les sources ponctuelles et diffuse la masse pour t>0.

Mauvaise application

Considérer le noyau de chaleur comme valide pour des temps négatifs ou utiliser son développement pour t court comme description globale précise sur des variétés à géométrie non triviale, menant à des conclusions erronées.

Conséquence

Agit comme un opérateur de lissage qui régularise les données initiales, encode des informations spectrales et géométriques du domaine et fournit des développements d'ordre court liés aux invariants de courbure.

Inversion

Un propagateur pour une équation hyperbolique (noyau d'onde) transporte les singularités le long de caractéristiques à vitesse finie, tandis que le noyau de chaleur produit un lissage immédiat de vitesse infinie.

Limite

Défini pour des générateurs elliptiques et pour t>0 ; sur les variétés, les conditions aux limites modifient le noyau ; non applicable aux dynamiques non diffusives ou fortement non locales sans générateur de diffusion.

Tension sémantique

Proche de la fonction de Green de l'opérateur elliptique après intégration temporelle, mais le noyau de chaleur dépend du temps et fournit une évolution plutôt qu'une inverse statique.

Synthèse

Le noyau de chaleur est le noyau intégral dépendant du temps qui propage et lisse les données initiales par diffusion, traduisant à la fois les propriétés analytiques du générateur et les caractéristiques géométriques du domaine.