La solución fundamental (núcleo integral) de la ecuación del calor (difusión) para un operador elíptico dado; indica la temperatura (o densidad) en un punto y tiempo producida por una fuente puntual unitaria en otro punto.

Principio

Resolver ∂_t u = L u con datos iniciales una delta de Dirac; el núcleo de calor K(t,x,y) satisface u(t,x) = ∫ K(t,x,y) u(0,y) dy y la propiedad de semigrupo K(t+s,x,y)=∫ K(t,x,z)K(s,z,y) dz.

Demostración

En el espacio euclidiano R^n con L el laplaciano, el núcleo de calor es K(t,x,y) = (4π t)^{-n/2} exp(−|x−y|^2/(4t)), que lisa instantáneamente fuentes puntuales y difunde masa para t>0.

Aplicación incorrecta

Usar el núcleo de calor para tiempos negativos o emplear su expansión de tiempo corto como descripción global precisa en variedades con geometría no trivial, llevando a conclusiones erróneas.

Consecuencia

Actúa como operador que suaviza y regulariza datos iniciales, codifica información espectral y geométrica del dominio y produce desarrollos de tiempo corto ligados a invariantes de curvatura.

Inversión

Un propagador para una ecuación hiperbólica (núcleo de ondas) transporta singularidades a velocidad finita, mientras que el núcleo de calor produce un suavizado inmediato con velocidad de propagación infinita.

Límite

Definido para generadores elípticos y para t>0; en variedades las condiciones de contorno alteran el núcleo; no aplicable a dinámicas no difusivas o fuertemente no locales sin un generador de difusión.

Tensión semántica

Próximo a la función de Green del operador elíptico tras integrar en el tiempo, pero el núcleo de calor depende del tiempo y proporciona evolución en lugar de una inversa estática.

Síntesis

El núcleo de calor es el núcleo integral dependiente del tiempo que propaga y suaviza datos iniciales por difusión, reflejando propiedades analíticas del generador y rasgos geométricos del dominio.