Ein Anpassungsmaß, definiert als das Supremum der absoluten Differenz zwischen einer empirischen Verteilungsfunktion und einer Referenz-Verteilungsfunktion (oder zwischen zwei empirischen VFs); verwendet zum Testen, ob Stichproben einer vorgegebenen Verteilung folgen.

Prinzip

Es quantifiziert die maximale vertikale Abweichung zwischen Verteilungsfunktionen und erfasst die größte lokale Diskrepanz ohne Gruppierung; bei stetiger Nullhypothese ist der Test distributionsfrei.

Demonstration

Für Stichprobe X1,…,Xn mit empirischer VF Fn und einer stetigen Ziel-VF F ist die ein-Stichproben-KS-Statistik Dn = sup_x |Fn(x) − F(x)|; kritische Werte (Kolmogorov-Verteilung) entscheiden über Ablehnung bei großem Dn.

Fehlanwendung

Die Standard-KS-Kritischen Werte zu verwenden, wenn Parameter von F aus derselben Stichprobe geschätzt wurden (ohne Anpassung oder Bootstrap), unterschätzt die Variabilität und macht p‑Werte ungültig.

Konsequenz

Unter einer stetigen Nullhypothese ist der ein-Stichproben-KS-Test distributionsfrei und sensitiv gegenüber Abweichungen in Lage, Skala und Form; er liefert eine einfache nichtparametrische Entscheidungsregel.

Umkehrung

Ersetzt man die Supremumsmetrik durch eine integrierte quadratische Metrik (z. B. Cramér–von Mises), so liegt der Schwerpunkt auf globalen Abweichungen statt auf der größten lokalen Abweichung, wodurch die Sensitivität zu Alternativen ändert.

Abgrenzung

Definiert für eindimensionale Verteilungsfunktionen und empirische VFs; die distributionsfreie Eigenschaft bricht bei diskreten Verteilungen oder bei Parameterschätzung ohne Korrektur zusammen.

Semantische Spannung

Oft gegenüber dem χ²-Anpassungstest gestellt: KS ist nichtparametrisch und nutzt die vollständige Ordnung der Daten, während χ² von Klasseneinteilung und erwarteten Häufigkeiten abhängt; beide haben unterschiedliche Empfindlichkeiten.

Synthese

Die Kolmogorov–Smirnov-Statistik ist die Supremumsnorm-Distanz zwischen empirischer und Referenz-VF und bietet einen distributionsfreien, nichtparametrischen Test für eindimensionale kontinuierliche Anpassung.