Una medida de bondad de ajuste definida como el supremo de la diferencia absoluta entre una función de distribución empírica y una función de distribución de referencia (o entre dos F empíricas); se usa para probar si muestras siguen una distribución especificada.

Principio

Cuantifica la máxima desviación vertical entre funciones de distribución, capturando la mayor discrepancia local sin realizar agrupamientos y proporcionando una prueba libre de distribución bajo hipótesis nulas continuas.

Demostración

Para una muestra X1,…,Xn con F empírica Fn y una CDF objetivo continua F, el estadístico KS de una muestra es Dn = sup_x |Fn(x) − F(x)|; valores críticos (distribución de Kolmogorov) determinan el rechazo para Dn grande.

Aplicación incorrecta

Aplicar los valores críticos estándar del KS cuando los parámetros de F se estiman con la misma muestra (sin ajustes ni bootstrap) subestima la variabilidad y invalida los p‑valores.

Consecuencia

Bajo una hipótesis nula continua, la prueba KS de una muestra es libre de distribución y sensible a diferencias en localización, escala y forma; proporciona una regla de decisión no paramétrica sencilla.

Inversión

Sustituir la métrica supremo por una métrica integrada al cuadrado (p. ej., Cramér–von Mises) enfatiza desviaciones globales en lugar de la mayor desviación local, alterando la sensibilidad frente a alternativas.

Límite

Definido para funciones de distribución unidimensionales y F empíricas; su propiedad de ser libre de distribución falla para distribuciones discretas o cuando los parámetros se estiman sin corrección.

Tensión semántica

A menudo se contrasta con la prueba χ²: KS es no paramétrica y usa el orden completo de los datos, mientras que χ² depende del agrupamiento en clases y de los recuentos esperados; cada una es sensible de manera distinta a las desviaciones.

Síntesis

El estadístico de Kolmogorov–Smirnov es la distancia en norma supremo entre F empírica y F de referencia que ofrece una prueba no paramétrica y libre de distribución para el ajuste unidimensional continuo.