Une mesure d'adéquation définie comme le supremum de la différence absolue entre une fonction de répartition empirique et une fonction de répartition de référence (ou entre deux F empiriques) ; utilisée pour tester si des échantillons suivent une loi spécifiée.

Principe

Elle quantifie la plus grande déviation verticale entre fonctions de répartition, capturant le plus grand désaccord local sans discretisation en classes et fournissant un test sans distribution sous l'hypothèse nulle continue.

Démonstration

Pour un échantillon X1,…,Xn de F empiriquement Fn et une CDF cible continue F, la statistique KS à un échantillon est Dn = sup_x |Fn(x) − F(x)| ; des valeurs critiques (loi de Kolmogorov) déterminent le rejet pour Dn grand.

Mauvaise application

Employer les valeurs critiques standard du KS alors que les paramètres de F ont été estimés à partir du même échantillon (sans tables ajustées ou bootstrap) sous-estime la variabilité et invalide les p‑valeurs.

Conséquence

Sous une hypothèse nulle continue, le test KS à un échantillon est sans distribution et sensible aux différences de position, d'échelle et de forme ; il fournit une règle de décision non paramétrique simple.

Inversion

Remplacer la métrique en supremum par une métrique intégrée au carré (par ex. Cramér–von Mises) met l'accent sur les écarts globaux plutôt que sur le plus grand écart local, modifiant la sensibilité aux alternatives.

Limite

Défini pour des fonctions de répartition unidimensionnelles et des F empiriques ; sa propriété standard sans distribution échoue pour les distributions discrètes ou lorsque les paramètres sont estimés sans correction.

Tension sémantique

Souvent opposé au χ² d'ajustement : le KS est non paramétrique et utilise l'ordre complet des données, tandis que χ² dépend du regroupement en classes et des effectifs attendus ; chacun est sensible différemment aux déviations.

Synthèse

La statistique de Kolmogorov–Smirnov est la distance en norme suprême entre une F empirique et une F de référence, offrant un test non paramétrique sans distribution pour l'ajustement unidimensionnel continu.