Ein Wertebereich für Parameter, abgeleitet aus der Posteriorverteilung, der eine festgelegte Wahrscheinlichkeitsmasse enthält (z. B. 0,95); er drückt die direkte posteriori-Wahrscheinlichkeit aus, dass der Parameter unter Annahme des Modells und der Prior in diesem Intervall liegt.

Prinzip

Posterior-Wahrscheinlichkeitszuweisung: die Posteriodichte (oder kumulative Posteriorverteilung) integrieren, um eine Menge von Parameterwerten zu finden, deren Posteriorwahrscheinlichkeit dem nominalen Niveau entspricht; oft wählt man das Highest Posterior Density (HPD)-Intervall oder gleichschwänzige Intervalle.

Demonstration

Bei Daten und einer konjugierten Prior für einen Normalmittelwert mit bekannter Varianz ist das 95%-Glaubwürdigkeitsintervall der posteriori-Mittelwert ±1,96 mal die posteriori-Standardabweichung (bei Gaußscher Posterior), und bedeutet direkt, dass die posteriori-Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelwert in diesem Intervall liegt, 0,95 ist.

Fehlanwendung

Ein einzelnes Glaubwürdigkeitsintervall so zu interpretieren, dass es eine langfristige Deckungsfrequenz über wiederholte Datensätze im frequentistischen Sinne garantiert; Glaubwürdigkeitsintervalle hängen von der gewählten Prior und dem Modell ab, sodass ihre langfristige Deckung vom nominalen Niveau abweichen kann.

Konsequenz

Erlaubt wahrscheinlichkeitstheoretische Aussagen über Parameter bedingt auf beobachteten Daten und Priorannahmen; unterstützt Entscheidungen mit Verlustfunktionen und probabilistische Vorhersageintervalle für abgeleitete Größen.

Umkehrung

Frequentistisches Konfidenzintervall: ein Intervallverfahren, das darauf ausgelegt ist, bei wiederholter Stichprobenziehung eine bestimmte Deckungswahrscheinlichkeit zu erreichen, und das in einem einzelnen Experiment ohne Prior keine direkte posteriori-Wahrscheinlichkeit dem Parameter zuweist.

Abgrenzung

Erfordert eine wohldefinierte Posteriorverteilung; schlecht gewählte nichtnormierbare Priors, Nichtidentifizierbarkeit oder Modellfehlanpassung können das Intervall sinnlos oder stark priorabhängig machen; die Interpretation ist bedingt auf Modell und Prior.

Semantische Spannung

Im Spannungsverhältnis zu Konfidenzintervallen: beide liefern Intervalle, beantworten jedoch unterschiedliche Fragen (Posteriorwahrscheinlichkeit vs. langfristige Deckung); ihre Vereinbarkeit erfordert Vorsicht bezüglich Priors, Verlustfunktionen und Kalibrierung.

Synthese

Ein bayessches Glaubwürdigkeitsintervall ist eine Teilmenge des Parameterraums, abgeleitet aus der Posteriorverteilung, die eine vorgeschriebene posteriori-Wahrscheinlichkeit enthält und damit direkte probabilistische Inferenz über Parameter unter der angenommenen Prior und dem Modell ermöglicht.