Un ensemble de valeurs de paramètre dérivé de la distribution a posteriori qui contient une masse de probabilité spécifiée (par ex. 0,95) ; il exprime la probabilité a posteriori directe que le paramètre appartient à cet intervalle, compte tenu du modèle et de la loi a priori.

Principe

Allocation de probabilité a posteriori : intégrer la densité a posteriori (ou la fonction de distribution a posteriori) pour trouver un ensemble de valeurs dont la probabilité a posteriori égale le niveau nominal, souvent choisi comme intervalle de densité a posteriori la plus élevée (HPD) ou intervalle à queues égales.

Démonstration

Avec des données et une loi a priori conjuguée pour une moyenne normale de variance connue, l'intervalle crédible à 95 % est la moyenne a posteriori ±1,96 fois l'écart-type a posteriori (pour une a posteriori gaussienne), ce qui signifie directement que la probabilité a posteriori que la moyenne soit dans cet intervalle est 0,95.

Mauvaise application

Interpréter un intervalle crédible unique comme garantissant une fréquence de couverture à long terme sur répétitions d'expériences au sens fréquentiste ; les intervalles crédibles dépendent de la loi a priori et du modèle, donc leur couverture à long terme peut différer du niveau nominal.

Conséquence

Permet des déclarations probabilistes sur les paramètres conditionnelles aux données observées et aux hypothèses a priori ; soutient la prise de décision avec fonctions de perte et des intervalles de prédiction probabilistes pour des quantités dérivées.

Inversion

Intervalle de confiance fréquentiste : une procédure d'intervalles conçue pour atteindre une fréquence de couverture sous échantillonnage répété, qui n'attribue pas une probabilité a posteriori directe au paramètre dans une expérience unique sans loi a priori.

Limite

Nécessite une distribution a posteriori bien définie ; des lois a priori impropres mal choisies, la non-identifiabilité ou la mauvaise spécification du modèle peuvent rendre l'intervalle dénué de sens ou sensible au choix de la loi a priori ; l'interprétation est conditionnelle au modèle et à la loi a priori.

Tension sémantique

En tension avec les intervalles de confiance : les deux produisent des intervalles mais répondent à des questions différentes (probabilité a posteriori vs couverture à long terme) ; les réconcilier exige prudence sur les lois a priori, les fonctions de perte et la calibration.

Synthèse

Un intervalle crédible bayésien est un sous-ensemble de l'espace des paramètres, dérivé de la distribution a posteriori, qui contient une probabilité a posteriori prescrite et permet ainsi une inférence probabiliste directe sur les paramètres sous le modèle et la loi a priori supposés.