Ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Raum der stetigen Pfade (meist beginnend in einem festen Punkt), unter dem die Koordinatenabbildungen normalverteilte endliche Randverteilungen mit unabhängigen Inkrementen haben; es ist das kanonische Gesetz des stetigen zufälligen Bewegungsprozesses mit stationären, normalverteilten Inkrementen.

Prinzip

Konstruiert als schwache Grenze skalierter Zufallsgangmaße oder über projektive Konsistenz der endlichdimensionalen Normalverteilungen; es stattet den Pfadraum mit einer Wahrscheinlichkeit aus, die fast sicher stetige, nicht differenzierbare Pfade erzeugt.

Demonstration

Auf C([0,T], R^n) ordnet das Wiener-Maß Zylinder-Mengen die multivariaten Normalwahrscheinlichkeiten mit Kovarianz min(s,t) zu, sodass die Koordinatenabbildung den klassischen kontinuierlichen Zufallsbewegungsprozess liefert.

Fehlanwendung

Wiener-Maß zum Modellieren von Prozessen mit Sprüngen oder Diskontinuitäten verwenden; das Maß konzentriert sich auf stetige Pfade und kann Sprungdynamiken nicht beschreiben.

Konsequenz

Das Wiener-Maß bildet die rigorose probabilistische Grundlage für stochastische Integration und differentiale Gleichungen mit treibender kontinuierlicher Zufallsbewegung; viele funktionale Grenzwertsätze verwenden es als universelle Skalengrenze.

Umkehrung

Ersetzt man das Gesetz mit stetigen Inkrementen durch ein Maß mit Sprungstruktur (z. B. ein zusammengesetztes Poisson-Gesetz), erhält man Pfadverteilungen mit Diskontinuitäten und grundsätzlich andere analytische Eigenschaften.

Abgrenzung

Definiert auf Räumen stetiger Funktionen mit gewählter Topologie (gleichmäßig auf Kompakten); es setzt die Struktur normaler Inkremente voraus und gilt nicht, wenn Inkremente nicht-normal oder schwer verteilt sind.

Semantische Spannung

Spannung zwischen dem Wiener-Maß als echtem Wahrscheinlichkeitsmaß auf Funktionsräumen und heuristischen Pfadintegralobjekten, die versuchen, ein 'flaches' gleichmäßiges Maß in unendlicher Dimension zu definieren, das typischerweise nicht existiert.

Synthese

Das Wiener-Maß ist das kanonische Wahrscheinlichkeitsgesetz auf dem Raum stetiger Pfade, das die kontinuierliche Zufallsbewegung mit unabhängigen, normalverteilten Inkrementen erfasst und die Grundlage der stochastischen Analysis und Skalengrenzen bildet.