Une mesure de probabilité sur l'espace des trajectoires continues (généralement partant d'un point donné) sous laquelle les applications coordonnées ont des marginales finies normales avec incréments indépendants ; c'est la loi canonique du mouvement aléatoire continu aux incréments stationnaires et normalement distribués.

Principe

Construite comme limite faible de mesures de chemins issues de marches aléatoires mises à l'échelle ou via la cohérence projective des lois finies normales ; elle dote l'espace des trajectoires d'une probabilité qui encode des échantillons continus et presque sûrement non dérivables.

Démonstration

Sur C([0,T], R^n), la mesure de Wiener attribue aux ensembles cylindre les probabilités multivariées normales déterminées par la covariance min(s,t) de sorte que l'évaluation des coordonnées donne le processus classique de mouvement aléatoire continu.

Mauvaise application

Employer la mesure de Wiener pour modéliser des processus à sauts ou discontinuités ; la mesure se concentre sur des trajectoires continues et ne représente pas les dynamiques à sauts.

Conséquence

La mesure de Wiener fournit le fondement probabiliste rigoureux pour l'intégration stochastique et les équations différentielles entraînées par un mouvement aléatoire continu ; de nombreux théorèmes de limite fonctionnelle l'utilisent comme limite d'échelle universelle.

Inversion

Remplacer la loi à incréments continus par une mesure à structure de sauts (par exemple une loi de Poisson composée) produit des trajectoires à discontinuités et des propriétés analytiques fondamentalement différentes.

Limite

Définie sur des espaces de fonctions continues munis d'une topologie (uniforme sur compacts) ; elle suppose la structure d'incréments normaux et indépendants et ne s'applique pas lorsque les incréments sont non normaux ou à queues lourdes.

Tension sémantique

Tension entre la mesure de Wiener en tant que véritable mesure de probabilité sur l'espace des fonctions et des objets formels d'intégrale de trajectoires qui cherchent une « mesure plate » uniforme en dimension infinie, généralement inexistante.

Synthèse

La mesure de Wiener est la loi de probabilité canonique sur l'espace des trajectoires continues qui capture le mouvement aléatoire continu aux incréments normaux et indépendants et sert de fondement au calcul stochastique et aux limites d'échelle.