Una medida de probabilidad sobre el espacio de trayectorias continuas (por lo general con un punto inicial especificado) bajo la cual las funciones coordenadas tienen marginales finitas normales con incrementos independientes; es la ley canónica del movimiento aleatorio continuo con incrementos estacionarios y normalmente distribuidos.

Principio

Construida como límite débil de medidas de camino de caminatas aleatorias escaladas o mediante coherencia proyectiva de distribuciones normales finito-dimensionales; dota al espacio de trayectorias de una probabilidad que codifica trayectorias continuas y casi seguramente no diferenciables.

Demostración

En C([0,T], R^n) la medida de Wiener asigna a conjuntos cilindro las probabilidades multivariantes normales determinadas por la covarianza min(s,t), de modo que la evaluación de coordenadas produce el proceso clásico de movimiento aleatorio continuo.

Aplicación incorrecta

Usar la medida de Wiener para modelar procesos con saltos o discontinuidades; la medida se concentra en trayectorias continuas y no puede representar dinámicas con saltos.

Consecuencia

La medida de Wiener proporciona la base probabilística rigurosa para la integración estocástica y las ecuaciones diferenciales impulsadas por movimiento aleatorio continuo; muchos teoremas de límite funcional la usan como límite de escalado universal.

Inversión

Sustituir la ley de incrementos continuos por una medida con estructura de saltos (por ejemplo, una ley de Poisson compuesta) produce distribuciones de trayectorias con discontinuidades y propiedades analíticas fundamentalmente diferentes.

Límite

Definida en espacios de funciones continuas con una topología escogida (uniforme en compactos); presupone la estructura de incrementos normales y no se aplica cuando los incrementos son no normales o de cola pesada.

Tensión semántica

Existe tensión entre la medida de Wiener como medida de probabilidad real en el espacio funcional y los objetos heurísticos de integral de camino que intentan una 'medida plana' uniforme en dimensión infinita, que típicamente no existe.

Síntesis

La medida de Wiener es la ley de probabilidad canónica sobre el espacio de trayectorias continuas que captura movimiento aleatorio continuo con incrementos normales e independientes y sustenta el cálculo estocástico y los límites de escala.