Eine partielle Differential-(oder Integro-Differential-)Gleichung, die die rückwärtige Entwicklung erwarteter Observablen für einen Markov-Prozess beschreibt: ∂_t u(t,x) = −L u(t,x) mit Endbedingung u(T,x)=φ(x), wobei L der auf der Raumvariable wirkende Erzeuger ist.

Prinzip

Die Rückwärtsgleichung steuert, wie der bedingte Erwartungswert einer terminalen Auszahlung rückwärts in der Zeit unter dem Generator des Markov-Prozesses evolviert; sie ist die duale (bezüglich Zeit und adjungierter Operation) zur Vorwärts- (Fokker–Planck-) Gleichung für Dichten.

Demonstration

Für eine Diffusion mit Generator L = a(x)∂^2_x + b(x)∂_x löst u(t,x)=E[φ(X_T) | X_t=x] die Gleichung ∂_t u = −L u mit u(T,x)=φ(x); das liefert Bewertungsformeln und Beziehungen zur dynamischen Programmierung.

Fehlanwendung

Die Rückwärtsgleichung zur Entwicklung von Wahrscheinlichkeitsdichten vorwärts anzuwenden oder die falsche Vorzeichenkonvention für L zu benutzen, sodass die Gleichung den Vorwärtssemigroup statt rückwärtsgerichteter Erwartungen beschreibt.

Konsequenz

Korrekte Anwendung liefert PDE-Charakterisierungen bedingter Erwartungen, führt zu Lösungsdarstellungen mittels Halbbgruppen (u(t)=P_{T−t}φ) und ist die Grundlage numerischer Schemen für Optionsbewertung und Steuerung mittels rückwärtsgerichteter Rekursion.

Umkehrung

Die Kolmogorow-Vorwärtsgleichung (Fokker–Planck) entwickelt Dichten vorwärts in der Zeit gemäß dem Adjunkt L^*; sie liefert das Gesetz des Prozesses statt der bedingten Erwartungen gegeben des aktuellen Zustands.

Abgrenzung

Erfordert einen wohldefinierten Markov-Generator und hinreichende Regularität der Koeffizienten und Enddaten; bei entarteten oder distributionsartigen Generatoren müssen Lösungen schwach- oder viscosity-interpretierbar sein und Rand-/Endbedingungen entsprechend formuliert werden.

Semantische Spannung

Eng verwandt mit, aber nicht identisch zu dynamischer Programmierung oder Hamilton–Jacobi–Bellman-Gleichungen: Die Rückwärts-Kolmogorow-Gleichung ist linear (Erwartungen unter gegebener Dynamik), während HJB wegen Optimierung nichtlinear ist.

Synthese

Die Rückwärts-Kolmogorow-Gleichung ist die lineare PDE, die terminale Observablen durch den Generator eines Markov-Prozesses rückwärts propagiert und analytischen sowie numerischen Zugang zu bedingten Erwartungen und Halbbgruppenrepräsentationen bietet.