Una ecuación en derivadas parciales (o integro-diferencial) satisfecha por la evolución hacia atrás de observables esperados para un proceso de Markov: ∂_t u(t,x) = −L u(t,x) con condición terminal u(T,x)=φ(x), donde L es el generador que actúa sobre la variable espacial.

Principio

La ecuación hacia atrás gobierna cómo evoluciona hacia atrás en el tiempo la esperanza condicional de un pago terminal bajo el generador del proceso de Markov; es la dual (en tiempo y en el sentido adjunto) de la ecuación hacia adelante (Fokker–Planck) para densidades.

Demostración

Para una difusión con generador L = a(x)∂^2_x + b(x)∂_x, la función u(t,x)=E[φ(X_T) | X_t=x] satisface ∂_t u = −L u con u(T,x)=φ(x); esto da fórmulas de valoración y relaciones de programación dinámica.

Aplicación incorrecta

Aplicar la ecuación hacia atrás para hacer evolucionar densidades de probabilidad hacia adelante en el tiempo, o usar la convención de signo equivocada para L de modo que la ecuación describa el semigrupo hacia adelante en lugar de expectativas hacia atrás.

Consecuencia

La aplicación correcta produce caracterizaciones PDE de expectativas condicionales, conduce a representaciones de solución vía semigrupos (u(t)=P_{T−t}φ) y sustenta esquemas numéricos para valoración de opciones y control mediante recurrencia hacia atrás.

Inversión

La ecuación de Kolmogórov hacia adelante (Fokker–Planck) hace evolucionar densidades hacia adelante en el tiempo según el adjunto L^*; proporciona la ley del proceso en lugar de las expectativas condicionales dadas el estado actual.

Límite

Requiere un generador de Markov bien definido y regularidad suficiente de coeficientes y datos terminales; para generadores degenerados o distribucionales hay que interpretar soluciones en sentidos débiles o de viscosidad e imponer condiciones de contorno/terminales adecuadas.

Tensión semántica

Estrechamente relacionada pero no idéntica a la programación dinámica o las ecuaciones Hamilton–Jacobi–Bellman: la Kolmogórov hacia atrás es lineal (expectativas bajo una dinámica dada), mientras que HJB es no lineal debido a la optimización.

Síntesis

La ecuación de Kolmogórov hacia atrás es la EDP lineal que propaga hacia atrás observables terminales mediante el generador de un proceso de Markov, proporcionando acceso analítico y numérico a expectativas condicionales y representaciones por semigrupos.