Une équation aux dérivées partielles (ou intégro-différentielle) satisfaite par l'évolution arrière des observables d'espérance pour un processus de Markov : ∂_t u(t,x) = −L u(t,x) avec condition terminale u(T,x)=φ(x), où L est le générateur agissant sur la variable spatiale.

Principe

L'équation arrière gouverne la façon dont l'espérance conditionnelle d'un paiement terminal évolue en temps arrière sous le générateur du processus de Markov ; elle est la duale (en temps et au sens adjoint) de l'équation avant (Fokker–Planck) pour les densités.

Démonstration

Pour une diffusion de générateur L = a(x)∂^2_x + b(x)∂_x, la fonction u(t,x)=E[φ(X_T) | X_t=x] résout ∂_t u = −L u avec u(T,x)=φ(x) ; ceci donne des formules de valorisation et des relations de programmation dynamique.

Mauvaise application

Appliquer l'équation arrière pour faire évoluer des densités de probabilité en avant dans le temps, ou utiliser une convention de signe erronée pour L de sorte que l'équation décrive le semi-groupe avant au lieu des espérances arrière.

Conséquence

Une application correcte fournit des caractérisations P.D.E. des espérances conditionnelles, conduit à des représentations de solutions via des semi-groupes (u(t)=P_{T−t}φ) et sous-tend des schémas numériques pour le pricing d'options et le contrôle par récurrence temporelle.

Inversion

L'équation de Kolmogorov avant (Fokker–Planck) fait évoluer les densités en avant dans le temps selon l'adjoint L^* ; elle donne la loi du processus plutôt que les espérances conditionnelles par état courant.

Limite

Nécessite un générateur de Markov bien défini et une régularité suffisante des coefficients et des données terminales ; pour des générateurs dégénérés ou distributionnels, les solutions doivent être interprétées au sens faible ou de viscosité et des conditions aux bords/terminale adaptées imposées.

Tension sémantique

Étroitement liée mais différente de la programmation dynamique ou des équations Hamilton–Jacobi–Bellman : la Kolmogorov arrière est linéaire (espérances sous une dynamique donnée), tandis que HJB est non linéaire en raison de l'optimisation.

Synthèse

L'équation de Kolmogorov en arrière est la P.D.E. linéaire qui propage en arrière les observables terminales par le générateur d'un processus de Markov, fournissant un accès analytique et numérique aux espérances conditionnelles et aux représentations par semi-groupes.