Eine Bedingung für einen Markov-Prozess mit stationärer Verteilung π, dass für jedes Paar von Zuständen i,j die Wahrscheinlichkeitsflüsse ausbalanciert sind: π_i P_{ij} = π_j P_{ji}, was Zeitumkehrsymmetrie (Reversibilität) impliziert.

Prinzip

Detailliertes Gleichgewicht besagt, dass unter der invarianten Maß π die Ein-Schritt-Transitionsrate von i nach j der von j nach i entspricht, sodass mikroskopische Übergänge im Gleichgewicht auslöschen und der Prozess statistisch nicht von seinem Zeitumkehrbild zu unterscheiden ist.

Demonstration

Für einen zufälligen Spaziergang auf einem ungerichteten Graphen mit Übergangswahrscheinlichkeiten P_{ij}=1/deg(i) zu Nachbarn erfüllt die stationäre Maßnahme π_i ∝ deg(i) π_i P_{ij} = π_j P_{ji}, was detailliertes Gleichgewicht und Reversibilität zeigt.

Fehlanwendung

Zu unterstellen, dass jede stationäre Verteilung detailliertes Gleichgewicht bedeutet; Stationarität (πP=π) verlangt keine paarweise Flussgleichheit und viele stationäre Ketten sind nicht-reversibel und besitzen Netto-Wahrscheinlichkeitsströme.

Konsequenz

Wenn detailliertes Gleichgewicht gilt, ist die Kette reversibel, die Spektralanalyse vereinfacht sich (Selbstadjungiertheit in gewichteten L^2(π)), Erwartungswerte im Gleichgewicht gehorchen zeitlicher Symmetrie, und Konvergenzdiagnosen sowie Stichprobenverfahren (z.B. MCMC) können Reversibilität ausnutzen.

Umkehrung

Bricht man das detaillierte Gleichgewicht, entstehen irreversible Dynamiken mit nichtverschwindender Zirkulation im Zustandsraum und asymmetrischen Flüssen π_i P_{ij} ≠ π_j P_{ji}, was das Mischen verbessern oder stationäre Ströme erzeugen kann, die in reversiblen Ketten fehlen.

Abgrenzung

Gilt für Markov-Ketten und Markov-Prozesse mit wohldefinierten Übergangskernen und einer invarianten Maßnahme; nicht anwendbar auf nicht-markovsche Prozesse, Prozesse ohne invariante Maßnahme oder Fälle, in denen Übergänge nicht paarweise vergleichbar sind.

Semantische Spannung

Wird oft mit Stationarität verwechselt: Stationarität verlangt globale Balance von Zu- und Abflüssen für jeden Zustand, detailliertes Gleichgewicht ist eine stärkere paarweise Bedingung, die Stationarität impliziert, aber nicht umgekehrt.

Synthese

Detailliertes Gleichgewicht verlangt die Gleichheit paarweiser Wahrscheinlichkeitsflüsse unter der invarianten Maßnahme und macht den Markov-Prozess reversibel; es ist eine strengere Symmetriebedingung als bloße Stationarität und hat starke spektrale sowie Stichprobenfolgen.