Une condition pour un processus de Markov avec distribution stationnaire π telle que pour chaque paire d'états i,j les flux de probabilité s'équilibrent : π_i P_{ij} = π_j P_{ji}, impliquant une symétrie par inversion temporelle (réversibilité).

Principe

L'équilibre détaillé affirme que, sous la mesure invariante π, le taux de transition en un pas de i vers j égalise celui de j vers i, de sorte que les transitions microscopiques se compensent à l'équilibre et le processus est statistiquement indiscernable de son inverse temporel.

Démonstration

Pour une marche aléatoire sur un graphe non orienté avec probabilités de transition P_{ij}=1/deg(i) vers les voisins, la mesure stationnaire π_i ∝ deg(i) vérifie π_i P_{ij} = π_j P_{ji}, montrant l'équilibre détaillé et la réversibilité.

Mauvaise application

Supposer que toute distribution stationnaire implique l'équilibre détaillé ; la stationnarité (πP=π) n'exige pas l'égalité des flux par paire et de nombreuses chaînes stationnaires sont non réversibles et présentent des courants de probabilité nets.

Conséquence

Si l'équilibre détaillé tient, la chaîne est réversible, l'analyse spectrale se simplifie (auto-adjointité dans L^2(π) pondéré), les espérances d'équilibre obéissent à la symétrie temporelle, et les diagnostics de convergence et schémas d'échantillonnage (p.ex. MCMC) peuvent exploiter la réversibilité.

Inversion

Rompre l'équilibre détaillé engendre une dynamique irréversible avec circulation non nulle dans l'espace des états et des flux asymétriques π_i P_{ij} ≠ π_j P_{ji}, ce qui peut accroître le mélange ou produire des courants soutenus absents des chaînes réversibles.

Limite

S'applique aux chaînes de Markov et processus de Markov avec noyaux de transition bien définis et une mesure invariante ; non applicable aux processus non markoviens, aux processus dépourvus de mesure invariante, ou aux cas où les transitions ne sont pas comparables par paires.

Tension sémantique

Souvent confondu avec la stationnarité : la stationnarité exige l'équilibre global des flux entrants et sortants pour chaque état, tandis que l'équilibre détaillé est une condition plus forte par paire qui implique la stationnarité mais n'en est pas une conséquence.

Synthèse

L'équilibre détaillé exige l'égalité des flux de probabilité par paire sous la mesure invariante, rendant le processus de Markov réversible ; c'est une condition de symétrie plus stricte que la simple stationnarité et entraîne des conséquences spectrales et d'échantillonnage fortes.