Una condición para un proceso de Markov con distribución estacionaria π tal que para cada par de estados i,j los flujos de probabilidad se equilibran: π_i P_{ij} = π_j P_{ji}, implicando simetría por inversión temporal (reversibilidad).

Principio

El equilibrio detallado establece que, bajo la medida invariante π, la tasa de transición en un paso de i a j iguala la de j a i, de modo que las transiciones microscópicas se cancelan en el equilibrio y el proceso es estadísticamente indistinguible de su reverso temporal.

Demostración

Para una caminata aleatoria en un grafo no dirigido con probabilidades de transición P_{ij}=1/deg(i) hacia vecinos, la medida estacionaria π_i ∝ deg(i) satisface π_i P_{ij} = π_j P_{ji}, mostrando equilibrio detallado y reversibilidad.

Aplicación incorrecta

Suponer que toda distribución estacionaria implica equilibrio detallado; la estacionaridad (πP=π) no exige igualdad de flujos por pares y muchas cadenas estacionarias son no reversibles y tienen corrientes de probabilidad netas.

Consecuencia

Si se cumple el equilibrio detallado la cadena es reversible, el análisis espectral se simplifica (autoadjunción en L^2(π) ponderado), las expectativas en equilibrio obedecen simetría temporal, y los diagnósticos de convergencia y esquemas de muestreo (p. ej. MCMC) pueden aprovechar la reversibilidad.

Inversión

Romper el equilibrio detallado produce dinámica irreversible con circulación no nula en el espacio de estados y flujos asimétricos π_i P_{ij} ≠ π_j P_{ji}, lo que puede mejorar el mezclado o producir corrientes sostenidas ausentes en cadenas reversibles.

Límite

Se aplica a cadenas de Markov y procesos de Markov con núcleos de transición bien definidos y una medida invariante; no es aplicable a procesos no markovianos, procesos sin medida invariante, o casos donde las transiciones no son comparables por pares.

Tensión semántica

A menudo se confunde con estacionaridad: la estacionaridad exige balance global de entrada y salida para cada estado, mientras que el equilibrio detallado es una condición por pares más fuerte que implica estacionaridad pero no es implicada por ella.

Síntesis

El equilibrio detallado requiere igualdad de flujos de probabilidad por pares bajo la medida invariante, haciendo al proceso de Markov reversible; es una condición de simetría más estricta que la mera estacionaridad y con profundas consecuencias espectrales y de muestreo.