Definition
Eine extrinsische skalare Größe, die angibt, wie eine Fläche im umgebenden Raum gekrümmt ist; an einem Punkt definiert als der Mittelwert der beiden Hauptkrümmungen, gewöhnlich H = (k1 + k2)/2; gleich der Hälfte der Spur des Gestaltoperators.
Prinzip
Prinzip
Die mittlere Krümmung ergibt sich als erste Variation der Fläche: ihr Verschwinden kennzeichnet stationäre Punkte des Flächenfunktionals unter normalen Deformationen; das Vorzeichen hängt von der Orientierungs-Konvention ab.
Demonstration
Demonstration
Eine Seifenhaut, die einen Drahtrahmen überspannt, bildet eine Fläche mit H≈0 (Minimalfläche); eine Kugel mit Radius R hat H = 1/R, gerichtet zum Zentrum bei äußerer Normalenkonvention.
Fehlanwendung
Fehlanwendung
Die mittlere Krümmung fälschlich als intrinsisches Invariant der Flächenmetrik zu interpretieren oder H an Punkten ohne gewählte Einheitsnormalen (nicht orientierbare Flächen) ohne Orientierungsspezifikation anzuwenden.
Konsequenz
Konsequenz
Flächen mit H=0 minimieren die Fläche bis zur ersten Ordnung und erfüllen elliptische PDG für graphische Parametrisierungen; Probleme mit vorgeschriebener mittlerer Krümmung liefern physikalisch relevante Formen (z. B. Kapillar-Oberflächen).
Umkehrung
Umkehrung
Die Gaußsche Krümmung multipliziert die Hauptkrümmungen und ist intrinsisch; das Ersetzen des Mittels durch das Produkt ändert Invarianz und geometrische Interpretation grundlegend.
Abgrenzung
Abgrenzung
Definiert dort, wo die Fläche mindestens C^2 ist und eine Orientierung (Einheitsnormalen) gewählt ist; Vorzeichen und Existenz versagen an Singularitäten, bei nicht orientierbaren Flächen ohne lokale Orientierung oder für Distributionen ohne zweite Ableitungen.
Semantische Spannung
Semantische Spannung
Es besteht eine Spannung zwischen der mittleren Krümmung als extrinsischer Biegemaß und ihrer variationellen Rolle als Euler–Lagrange-Gleichung für die Fläche; Vorzeichenkonventionen und die vektorielle mittlere Krümmung sind übliche Unklarheitsquellen.
Synthese
Synthese
Die mittlere Krümmung ist der orientierte Mittelwert der Hauptkrümmungen, ein extrinsisches Krümmungsskalar, das die erste Flächenvariation steuert und in geometrischen PDG von Minimal- und Kapillarflächen erscheint.