Mesure scalaire extrinsèque de la façon dont une surface se plie dans l'espace ambiant, définie en un point comme la moyenne des deux courbures principales, classiquement H = (k1 + k2)/2 ; elle égale la moitié de la trace de l'opérateur de forme.

Principe

La courbure moyenne apparaît comme la première variation de l'aire de la surface : son annulation caractérise les points stationnaires du fonctionnel aire pour des déformations normales ; le signe dépend de la convention d'orientation.

Démonstration

Un film savonneux tendu sur un cadre forme une surface de courbure moyenne H≈0 (surface minimale) ; une sphère de rayon R a H = 1/R orientée vers le centre selon la normale sortante.

Mauvaise application

Interpréter la courbure moyenne comme un invariant intrinsèque de la métrique de la surface ou appliquer H en des points sans normale unitaire choisie (surfaces non orientables) sans préciser l'orientation.

Conséquence

Les surfaces avec H=0 minimisent l'aire au premier ordre et satisfont des EDP elliptiques pour des paramétrisations graphiques ; les problèmes de courbure moyenne prescrite produisent des formes d'intérêt physique (par ex. interfaces capillaires).

Inversion

La courbure gaussienne multiplie les courbures principales et est intrinsèque ; remplacer la moyenne par le produit change radicalement l'invariance et l'interprétation géométrique.

Limite

Définie là où la surface est au moins C^2 et une orientation (normale unitaire) est choisie ; le signe et l'existence échouent aux points singuliers, pour les surfaces non orientables sans orientation locale, ou pour des distributions sans dérivées secondes.

Tension sémantique

Il existe une tension entre la courbure moyenne vue comme mesure extrinsèque de pliage et son rôle variationnel comme équation d'Euler–Lagrange pour l'aire ; les conventions de signe et la notion vectorielle (vecteur courbure) sont des sources d'ambiguïté courantes.

Synthèse

La courbure moyenne est la moyenne orientée des courbures principales, un scalaire de courbure extrinsèque qui contrôle la variation première de l'aire et apparaît dans les EDP géométriques décrivant surfaces minimales et capillaires.