Medida escalar extrínseca de cómo una superficie se dobla en el espacio ambiente, definida en un punto como el promedio de las dos curvaturas principales, habitualmente H = (k1 + k2)/2; equivale a la mitad de la traza del operador de forma.

Principio

La curvatura media surge como la primera variación del área de la superficie: su anulación caracteriza puntos estacionarios del funcional área frente a deformaciones normales; el signo depende de la convención de orientación.

Demostración

Una película de jabón que cubre un marco forma una superficie con H≈0 (superficie mínima); una esfera de radio R tiene H = 1/R dirigida hacia el centro bajo la convención de la normal exterior.

Aplicación incorrecta

Interpretar la curvatura media como un invariante intrínseco de la métrica de la superficie o aplicar H en puntos sin una normal unitaria elegida (superficies no orientables) sin especificar la orientación.

Consecuencia

Las superficies con H=0 minimizan el área en primera orden y cumplen EDP elípticas para parametrizaciones en forma de gráfico; problemas de curvatura media prescrita generan formas físicamente relevantes (p. ej., interfaces capilares).

Inversión

La curvatura gaussiana multiplica las curvaturas principales y es intrínseca; reemplazar la media por el producto cambia radicalmente la invariancia y la interpretación geométrica.

Límite

Definida donde la superficie es al menos C^2 y se ha elegido una orientación (normal unitaria); el signo y la existencia fallan en puntos singulares, para superficies no orientables sin orientación local, o para distribuciones sin segundas derivadas.

Tensión semántica

Existe tensión entre la curvatura media entendida como medida extrínseca de flexión y su papel variacional como ecuación de Euler–Lagrange para el área; las convenciones de signo y la curvatura media vectorial son fuentes comunes de ambigüedad.

Síntesis

La curvatura media es el promedio orientado de las curvaturas principales, un escalar extrínseco que controla la variación primera del área y aparece en EDP geométricas que describen superficies mínimas y capilares.