Eine Operation, die eine (konvexe, proper, unterhalb halbstetige) Funktion f(x) einer Variablen x in ihre konvexe Konjugierte f*(p)=sup_x (p·x − f(x)) überführt, wobei Variable und Steigung vertauscht und eine duale Darstellung erzeugt wird.

Prinzip

Dualität zwischen »Koordinaten« und »konjugierten Impulsen« (oder Steigungen) herstellen durch das Supremum der linearen Approximation; die Legendre‑Transformation wandelt variationelle Beschreibungen um und stellt oft eine Umwandlung von Nebenbedingungsproblemen in ein unbeschränktes Dualproblem dar.

Demonstration

Für f(x)=½ a x^2 (a>0) ergibt die Legendre‑Transformation f*(p)=½ p^2 / a; in der Mechanik liefert die Legendre‑Transformation eines regulären Lagrangeans bezüglich der Geschwindigkeiten den Hamiltonoperator in Impulskoordinaten.

Fehlanwendung

Die klassische Legendre‑Transformation auf nichtkonvexe Funktionen anwenden, ohne multiple lokale Suprema zu berücksichtigen; Ignorieren der unteren Halbstetigkeit kann dazu führen, dass die Transformation der konvexen Hülle entspricht und keine involutive Inverse liefert.

Konsequenz

Bietet eine Brücke zwischen primaler und dualer Formulierung: löst Optimierungsprobleme durch Übergang zur konvexen Konjugierten, liefert thermodynamische Potentiale aus freien Energien und erzeugt unter Regularitätsannahmen das Hamiltonians aus dem Lagrangean.

Umkehrung

Die inverse Legendre‑Transformation rekonstruiert die ursprüngliche Funktion, wenn f proper, konvex und unterhalb halbstetig ist; bei nichtkonvexen f kann die inverse Transformation die konvexe Hülle statt der ursprünglichen Funktion liefern.

Abgrenzung

Die Standardlegendre‑Transformation verlangt Konvexität und geeignete Wachstumsbedingungen (Properness, lsc) für Involutivität; an nondifferenzierbaren Stellen ersetzt man den Gradienten durch den Subgradienten und in nichtkonvexen Situationen ist eine Generalisierung durch Konvexifizierung nötig.

Semantische Spannung

Wird mit Fourier‑ oder Laplace‑Transformationen verwechselt; die Legendre‑Transformation ist eine konvexe Dualität mittels Supremum linearer Funktionale, keine Integraltransformation — sie tauscht geometrische Steigungsinformation gegen Koordinaten, nicht Frequenzinhalte.

Synthese

Die Legendre‑Transformation ordnet einer Funktion ihr konvexes Konjugiertes zu, indem sie p·x−f(x) supremiert und so eine Koordinaten‑zu‑Steigungs‑Dualität bewirkt, die duale Optimierung, thermodynamische Potentiale und den Übergang vom Lagrange‑ zum Hamilton‑Formalismus begründet.