Una operación que asigna a una función f(x) (convexa, propia, semicontinua inferiormente) de una variable x su conjugada convexa f*(p)=sup_x (p·x − f(x)), intercambiando la variable y la pendiente y produciendo una representación dual.

Principio

Realizar una dualidad entre 'coordenadas' y 'momentos conjugados' (o pendientes) tomando la linealización suprema; la transformada de Legendre convierte descripciones varicionales y suele transformar problemas de optimización con restricciones en un problema dual no restringido.

Demostración

Para f(x)=½ a x^2 (a>0), la transformada de Legendre da f*(p)=½ p^2 / a; en mecánica, la transformada de Legendre de un lagrangiano regular respecto a las velocidades produce el hamiltoniano en coordenadas de momento.

Aplicación incorrecta

Aplicar la transformada clásica de Legendre a funciones no convexas sin tener en cuenta múltiples supremos locales; ignorar la semicontinuidadd inferior puede llevar a transformadas que corresponden a la envolvente convexa en lugar de a una inversa involutiva.

Consecuencia

Proporciona un puente entre formulaciones primal y dual: resuelve optimización pasando al conjugado convexo, produce potenciales termodinámicos a partir de energías libres y genera el hamiltoniano a partir del lagrangiano bajo regularidad.

Inversión

La transformada inversa de Legendre recupera la función original cuando f es propia, convexa y semicontinua inferiormente; para f no convexa la inversa puede producir la envolvente convexa en vez de la función original.

Límite

La transformada de Legendre estándar requiere convexidad y crecimiento apropiado (propiedad de ser propia, lsc) para la involutividad; en puntos no diferenciables se reemplaza el gradiente por el subgradiente y en entornos no convexos se emplea convexificación generalizada.

Tensión semántica

Se confunde con transformadas de Fourier o Laplace; la transformada de Legendre es una dualidad convexe mediante el supremo de formas lineales, no una transformada integral: intercambia información geométrica de pendientes en lugar de contenido frecuencial.

Síntesis

La transformada de Legendre asigna a una función su conjugada convexa maximizando p·x−f(x), efectuando una dualidad variable‑pendiente que sustenta la optimización dual, los potenciales termodinámicos y el paso del formalismo lagrangiano al hamiltoniano.