Une opération qui associe à une fonction f(x) (convexe, propre, semi‑continue inférieurement) d'une variable x sa conjuguée convexe f*(p)=sup_x (p·x − f(x)), échangeant la variable et la pente et produisant une représentation duale.

Principe

Réaliser une dualité entre « coordonnées » et « moments conjugués » (ou pentes) en prenant la linéarisation suprémale ; la transformation de Legendre convertit des descriptions variationnelles et transforme souvent des problèmes d'optimisation contraints en un problème dual non contraint.

Démonstration

Pour f(x)=½ax^2 (a>0), la transformée de Legendre donne f*(p)=½ p^2 / a ; en mécanique, la transformation de Legendre d'un lagrangien régulier par rapport aux vitesses fournit l'hamiltonien en coordonnées impulsionnelles.

Mauvaise application

Appliquer la transformée de Legendre classique à des fonctions non convexes sans tenir compte des multiples suprema locaux ; ignorer la semi‑continuité inférieure conduit à des transformées correspondant à l'enveloppe convexe plutôt qu'à une inverse involutive.

Conséquence

Fournit un pont entre formulations primale et duale : résout des problèmes d'optimisation en passant au conjugué convexe, donne des potentiels thermodynamiques à partir d'énergies libres et produit l'hamiltonien à partir du lagrangien sous régularité.

Inversion

La transformée de Legendre inverse récupère la fonction originale lorsque f est propre, convexe et semi‑continue inférieurement ; pour f non convexe l'inverse peut donner l'enveloppe convexe plutôt que la fonction initiale.

Limite

La transformée de Legendre standard exige convexité et propriétés de croissance adéquates (propreté, lsc) pour être involutive ; aux points nondifférentiables remplacer le gradient par le sous‑gradient et pour les cadres non convexes utiliser la convexification généralisée.

Tension sémantique

Confondue avec les transformées de Fourier ou de Laplace ; la transformation de Legendre est une dualité convexe via le suprémum de formes linéaires, pas une transformée intégrale — elle échange l'information de pente géométrique plutôt que le contenu fréquentiel.

Synthèse

La transformation de Legendre associe à une fonction son conjugué convexe en maximisant p·x−f(x), effectuant une dualité variable‑pente qui sous‑tend l'optimisation duale, les potentiels thermodynamiques et le passage du formalisme lagrangien au hamiltonien.