Für eine messbare Abbildung f : (X, Σ_X) → (Y, Σ_Y) und ein Maß μ auf X ist das Bildmaß f_*μ auf Y definiert durch f_*μ(B)=μ(f^{-1}(B)) für messbare B⊂Y; es ist die natürliche Art, Masse unter f zu transportieren.

Prinzip

Transportiert Maßmasse mittels Urbildern, sodass Integrale von Testfunktionen auf Y gleich Integralen auf X der mit f zusammengesetzten Funktionen sind; formaliert die Verteilung einer abgebildeten Zufallsvariablen und liegt dem Variablenwechsel in der Integration zugrunde.

Demonstration

Ist X ein Wahrscheinlichkeitsraum von Ausgängen und f ordnet einem Ausgang eine beobachtete Größe zu, so ist die Verteilung dieser Größe genau f_*μ; z. B. ist die Verteilung der Summe zweier unabhängiger Variablen das Bildmaß ihres gemeinsamen Maßes unter der Additionsabbildung.

Fehlanwendung

Zu behaupten, f_*μ habe eine Dichte gegenüber dem Lebesgue‑Maß, ohne absolute Stetigkeit zu prüfen; das Bildmaß kann singulär sein (z. B. wenn f auf eine Untermannigfaltigkeit geringerer Dimension abbildet).

Konsequenz

Das Bildmaß definiert das Gesetz transformierter Zufallsvariablen, erlaubt die Verkettung probabilistischer Modelle unter messbaren Abbildungen und liefert einen koordinatenfreien Rahmen für Variablenwechsel und Erwartungsberechnungen.

Umkehrung

Das duale Konzept ist der Pullback von Funktionen oder Differentialformen: während das Bildmaß Maße via Urbilder vorwärts schiebt, zieht der Pullback Testfunktionen rückwärts zusammen mit f, um Integrale zu vergleichen.

Abgrenzung

Voraussetzung ist, dass f messbar ist und μ ein Maß auf der σ‑Algebra des Definitionsbereichs ist; nicht definiert für nicht messbare Abbildungen, und Eigenschaften wie absolute Stetigkeit oder endliche Momente hängen sowohl von f als auch von μ ab.

Semantische Spannung

Spannung zu naiven Dichtetransformationsformeln: Das Bildmaß ist allgemein und garantiert keine einfache Jacobidichte, es sei denn, f ist ausreichend regulär (z. B. Diffeomorphismus) und μ besitzt eine Dichte.

Synthese

Das Bildmaß f_*μ ist das auf dem Zielraum erhaltene Maß, das jedem messbaren Satz die μ‑Masse seines Urbildes unter f zuweist und formalisiert, wie Maße und Verteilungen durch messbare Abbildungen transportiert werden.