Étant donné une application mesurable f : (X, Σ_X) → (Y, Σ_Y) et une mesure μ sur X, la mesure image f_*μ sur Y est définie par f_*μ(B)=μ(f^{-1}(B)) pour tout borélien mesurable B⊂Y ; c'est la manière naturelle de transporter la masse par f.

Principe

Transporte la masse de la mesure via les préimages de sorte que les intégrales de fonctions test sur Y égalent les intégrales sur X composées par f ; formalise la distribution d'une variable aléatoire transformée et sous-tend le changement de variable en intégration.

Démonstration

Si X est un espace de probabilités d'issues et f associe à une issue une quantité observée, alors la loi de cette quantité observée est précisément f_*μ ; par ex. la distribution de la somme de deux variables indépendantes est la mesure image de leur mesure conjointe par l'application d'addition.

Mauvaise application

Supposer que f_*μ possède une densité par rapport à la mesure de Lebesgue sans vérifier la continuité absolue ; la mesure image peut être singulière (par ex. si f envoie sur une sous-variété de dimension inférieure).

Conséquence

La mesure image définit la loi des variables aléatoires transformées, permet la composition de modèles probabilistes par applications mesurables et fournit un cadre indépendant des coordonnées pour le changement de variable et le calcul des espérances.

Inversion

Le concept dual est le recollement (pullback) des fonctions ou formes différentielles : alors que la mesure image pousse les mesures via les préimages, le pullback compose en arrière les fonctions test avec f pour comparer les intégrales.

Limite

Exige que f soit mesurable et que μ soit une mesure sur l'algèbre sigma du domaine ; n'est pas défini pour des applications non mesurables, et des propriétés comme la continuité absolue ou l'existence de moments finis dépendent à la fois de f et de μ.

Tension sémantique

Tension avec les formules naïves de transformation de densité : la mesure image est générale et ne garantit pas une densité jacobienne simple sauf si f est suffisamment régulière (par ex. un difféomorphisme) et si μ a une densité.

Synthèse

La mesure image f_*μ est la mesure sur l'espace cible obtenue en assignant à chaque ensemble mesurable la masse μ de son préimage par f, formalisant comment les mesures et distributions sont transportées par des applications mesurables.