Dada una aplicación mesurable f : (X, Σ_X) → (Y, Σ_Y) y una medida μ en X, la medida imagen f_*μ en Y se define por f_*μ(B)=μ(f^{-1}(B)) para cualquier B mesurable en Y; es la manera natural de transportar masa mediante f.

Principio

Transporta la masa de la medida a través de los preimágenes de modo que las integrales de funciones de prueba en Y sean iguales a las integrales en X de las funciones compuestas por f; formaliza la distribución de una variable aleatoria transformada y sustenta el cambio de variable en integración.

Demostración

Si X es un espacio de probabilidad de resultados y f asigna a un resultado una cantidad observada, la distribución de esa cantidad observada es precisamente f_*μ; p. ej., la distribución de la suma de dos variables independientes es la medida imagen de su medida conjunta por la aplicación suma.

Aplicación incorrecta

Suponer que f_*μ tiene una densidad respecto a la medida de Lebesgue sin verificar la continuidad absoluta; la medida imagen puede ser singular (por ejemplo, si f mapea sobre una variedad de dimensión menor).

Consecuencia

La medida imagen define la ley de variables aleatorias transformadas, permite la composición de modelos probabilísticos bajo aplicaciones mesurables y proporciona un marco independiente de coordenadas para cambio de variable y cálculo de expectativas.

Inversión

El concepto dual es el pullback de funciones o formas diferenciales: mientras el pushforward empuja medidas hacia adelante mediante preimágenes, el pullback compone funciones de prueba hacia atrás con f para comparar integrales.

Límite

Requiere que f sea mesurable y que μ sea una medida sobre la σ‑álgebra del dominio; no está definido para mapas no mesurables, y propiedades como continuidad absoluta o momentos finitos dependen tanto de f como de μ.

Tensión semántica

Tensión con fórmulas ingenuas de transformación de densidades: el pushforward es general y no garantiza una densidad jacobiana simple salvo que f sea suficientemente regular (p. ej. un difeomorfismo) y μ tenga densidad.

Síntesis

La medida imagen f_*μ es la medida en el espacio objetivo que asigna a cada conjunto mesurable la masa μ de su preimagen por f, formalizando cómo las medidas y distribuciones son transportadas por aplicaciones mesurables.