Eine notwendige Bedingung, welche Zeitschrittgröße, räumliche Diskretisierung und charakteristische Geschwindigkeiten für eine stabile explizite numerische Integration hyperbolischer (und einiger parabolischer) partieller Differentialgleichungen verknüpft; typischerweise als Δt ≤ C Δx / |λ_max| formuliert, wobei C vom Schema abhängt.

Prinzip

Der numerische Abhängigkeitsbereich muss den physikalischen Abhängigkeitsbereich der PDE enthalten: Informationen, die von der PDE transportiert werden, müssen durch das diskrete Update erfasst werden, damit numerische Signale die Gitterkausalität nicht überholen; sonst entstehen Instabilitäten.

Demonstration

Für die eindimensionale lineare Advektionsgleichung u_t + a u_x mit einem expliziten Upwind-Finite-Difference-Schema erfordert die Stabilität Δt ≤ Δx/|a| (C=1); ein größeres Δt erzeugt wachsende Oszillationen und einen numerischen Zusammenbruch.

Fehlanwendung

Die CFL-Ungleichung als universell hinreichende Bedingung zu behandeln oder eine für ein Schema abgeleitete CFL-Konstante auf ein anderes Schema bzw. eine höherordentliche Methode ohne Neuableitung zu übertragen.

Konsequenz

Gibt eine praktische Zeitschrittbegrenzung bei expliziten Verfahren und steuert die Netzverfeinerung: Die Verfeinerung von Δx erzwingt eine proportionale Verringerung von Δt zur Erhaltung der Stabilität, was den Rechenaufwand beeinflusst.

Umkehrung

Implizite Zeitintegrationsverfahren können hinsichtlich der CFL-Bedingung unbeschränkt stabil sein und größere Δt erlauben, tauschen dies jedoch gegen erhöhte algebraische Komplexität und mögliche Genauigkeitsverluste oder andere Instabilitäten ein.

Abgrenzung

Gilt primär für zeit‑explizite Diskretisierungen von PDEs, bei denen Ausbreitungsgeschwindigkeiten eine Rolle spielen; sie ist eine notwendige (nicht immer hinreichende) Stabilitätsbedingung in linearen Analysen und sichert keine Genauigkeit oder Behandlung nichtlinearer Schockbildung.

Semantische Spannung

Eng verwandt, aber verschieden von der von‑Neumann‑Stabilitätsanalyse: CFL ist eine geometrische Kausalitätsbedingung, oft notwendig, während von Neumann die spektralen Verstärkungsfaktoren prüft und für lineare konstante Koeffizienten-Schemata Hinreichendes liefern kann.

Synthese

Die CFL‑Bedingung ist die geometrische Einschränkung, die numerische Vorwärtsgeschwindigkeit mit physikalischer Ausbreitungsgeschwindigkeit in Einklang bringt und so eine Zeitschrittgrenze für explizite PDE‑Diskretisierungen verbindet.