Condition nécessaire reliant le pas temporel, la discrétisation spatiale et les vitesses caractéristiques pour l'intégration numérique explicite stable d'équations aux dérivées partielles hyperboliques (et de certaines paraboliques) ; s'exprime typiquement par Δt ≤ C Δx / |λ_max| où C dépend du schéma.

Principe

Le domaine de dépendance numérique doit contenir le domaine de dépendance physique de l'EDP : l'information propagée par l'équation doit être captée par la mise à jour discrète afin que les signaux numériques ne dépassent pas la causalité de la grille du schéma, faute de quoi des instabilités apparaissent.

Démonstration

Pour l'équation d'advection linéaire unidimensionnelle u_t + a u_x avec un schéma explicite en différences finies upwind, la stabilité exige Δt ≤ Δx/|a| (C=1) ; choisir Δt plus grand entraîne des oscillations croissantes et un effondrement temporel.

Mauvaise application

Traiter l'inégalité CFL comme une condition suffisante universelle ou réutiliser une constante CFL dérivée pour un schéma sur un autre schéma ou méthode d'ordre supérieur sans nouvelle dérivation.

Conséquence

Fournit une limite pratique sur le pas de temps pour les schémas explicites et guide le raffinement de maillage : raffiner Δx impose une réduction proportionnelle de Δt pour préserver la stabilité, affectant le coût de calcul.

Inversion

Les méthodes implicites d'intégration temporelle peuvent être inconditionnellement stables vis‑à‑vis de la contrainte CFL, permettant des Δt plus grands, mais au prix d'une complexité algébrique accrue et de possibles pertes d'exactitude ou autres instabilités.

Limite

S'applique principalement aux discrétisations temporelles explicites des EDP où les vitesses de propagation ont un sens ; c'est une condition nécessaire (pas toujours suffisante) de stabilité dans les analyses linéaires et n'assure pas l'exactitude ni le traitement des chocs non linéaires.

Tension sémantique

Étroitement lié mais distinct de l'analyse de stabilité de von Neumann : la CFL est une condition de causalité géométrique souvent nécessaire, tandis que l'analyse de von Neumann examine les facteurs d'amplification spectraux et peut fournir la suffisance pour des schémas linéaires à coefficients constants.

Synthèse

La condition CFL est la contrainte géométrique qui met en accord la vitesse d'avancement numérique et la vitesse de propagation physique, produisant une borne sur le pas de temps des discrétisations explicites en PDE et liant stabilité, maillage et échelles de vitesse.