Eine probabilistische Beziehung zwischen Zufallsgrößen X, Y und Z, bezeichnet X ⟂ Y | Z, die besagt, dass unter Bedingung von Z die gemeinsame Verteilung von X und Y in das Produkt ihrer Konditionalverteilungen faktorisiert: P(X,Y | Z)=P(X|Z)P(Y|Z).

Prinzip

Bedingte Unabhängigkeit drückt aus, dass alle probabilistischen Verknüpfungen zwischen X und Y durch Z vermittelt werden; mathematisch ist es eine Faktorisierungseigenschaft der bedingten Verteilungen bzw. das Verschwinden der bedingten wechselseitigen Information.

Demonstration

In einem Bayesschen Netz, in dem Z gemeinsame Ursache von X und Y ist (Z → X und Z → Y), sind X und Y bedingt unabhängig gegeben Z: Die Beobachtung von Z entfernt die statistische Assoziation zwischen X und Y.

Fehlanwendung

Zu behaupten X ⟂ Y | Z immer dann, wenn X und Y marginal unkorreliert sind, oder bedingte Unabhängigkeit aus Stichprobenkorrelationen herzuleiten, ohne Konfundierung oder unzureichende Bedingung zu berücksichtigen.

Konsequenz

Ist sie gültig, erlaubt bedingte Unabhängigkeit die Faktorisierung gemeinsamer Modelle, modulare Inferenz (lokale Rechnungen) und eine drastische Reduktion der Anzahl von Parametern zur Spezifikation multivariater Verteilungen oder graphischer Modelle.

Umkehrung

Bedingte Abhängigkeit (¬(X ⟂ Y | Z)) bedeutet, dass X und Y selbst nach Bedingung an Z statistisch assoziiert bleiben, was auf verbleibende Pfade oder verborgene Störfaktoren hindeutet.

Abgrenzung

Definiert im Rahmen des Wahrscheinlichkeitsmodells mittels bedingter Verteilungen; in stetigen oder maßtheoretischen Fällen müssen Versionen bedingter Erwartungswerte verwendet und Nullmengen beachtet werden; bedingte Unabhängigkeit impliziert ohne zusätzliche Annahmen keine kausale Unabhängigkeit.

Semantische Spannung

Wird oft mit marginaler Unabhängigkeit (X ⟂ Y) verwechselt — marginale Unabhängigkeit ist schwächer und impliziert nicht bedingte Unabhängigkeit und umgekehrt; ferner ist Nullkorrelation nicht gleichbedeutend mit bedingter Unabhängigkeit außer in speziellen Verteilungen (z. B. gemeinsam gaußschen).

Synthese

Bedingte Unabhängigkeit besagt, dass X und Y gegeben Z keine verbleibende statistische Wechselwirkung haben; es ist eine Faktorisierungseigenschaft, die graphische Modelle trägt und die Inferenz vereinfacht, wenn sie korrekt erkannt wird.